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1、第三章 时域分析法第三节 二阶系统性能分析一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应五、改善二阶系统性能的措施三、二阶系统的性能指标四、带零点二阶系统的单位阶跃响应二阶微分方程描述的系 统称为二阶系统。 系统的典型结构:阻尼比无阻尼自然振荡频率n 一、二阶系统的数学模型第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析求出标准形式的性能指标表达式，便 可求得任何二阶系统的动态性能指标。(s)=C(s) R(s)n n s2+2 s+n=22n -R(s)C(s) s(s+22 n)=s2 +Rs/L+1/LC1/LCLCs2 +RCs+11=G(s)=Uc(s) Ur(s)例如：RLC电路的
2、传递函数为得：n 2=R/L= R C 2 L第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析+-uruc+-CLRi二阶系统的参数与 标准式的参数之间有着 对应的关系。n2 =1/LCn=1/ LCn n s2+2 s+n=22值不同，两个根的性质不同，有可能为 实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃 响应的形式也不相同。下面分别讨论。C(s)=(s)R(s)n s2+2 s+n2=0二、二阶系统的单位阶跃响应第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析n2 n (s2+2 s+n2)=s1n =- n2 -1 n s1.2 = -2 2(2)2-4n n 21. 1 过阻尼 两不相等 负实数
3、根c(t)=A1+A2es1t+A3es2t系统输出无振荡 和超调，输出响应 最终趋于稳态值1。 第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析A1=ss-s1+A2A3s-s2+单位阶跃响应曲线c(t)t011 s1.2 n =- n2 -1 n n (s2+2 s+n2)s1C(s)=2s(s-s1)(s-s2)n2 =2.=1 临界阻尼两相等负实数根=-n 1=s1-n n (s+)2 n s+-n c(t)=1- en -t(1+t)输出响应无振 荡和超调。=1时 系统的响应速度比 1 时快。第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析单位阶跃响应曲线 1=1 c(t)t0s1.2
4、n =- n2 -1 n n (s2+2 s+n2)s1C(s)=2=n n (s+)2 1s2n (s+ +n2)2=(1- 2)3. 01 =1 1C(s)=s(s+1)(s+2)2拉氏反变换 c(t)=1-2e-t+e-2tA1=ss+1+A2A3 s+2+1=ss+1-21s+2+C(s) s2+s+44R(s)=例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统的单位阶跃响应.解：=0.25得：第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析=2n 2 = 4n 2n =1=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)将参数代入公式:c(t)=1-t+ )ent- 21- dsin(=0.5
5、n =75o-1=tg 21- =1.9d= n2 1- 主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进 行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线：tc(t)01trtp%tsess性能指标有：性能指标求取如下三、二阶系统的性能指标第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析1. 上升时间tr 2. 峰值时间tp 3. 超调量% 4. 调节时间ts 5. 稳态误差ess=11. 上升时间tr即根据定义有则第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析c(tr )=1-tr+ )entr- 21- dsin(=0tr+ )entr- 21- dsin(=0tr+ )dsin(tc(t)01trd tr+ =0,2得
6、:-1=tg 21- tr=d -21- -n =其中:d tr+ =2. 峰值时间tp根据定义有dc(tp) dt=0即第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析c(t)=1-t+ )ent- 21- dsin( -1tp+)entp-21- dsin(dc(tp) dt=- n =0+tp+ )entp-dcos(dtc(t)01tp -tp+ )entp-21- dsin(= n =0tp+ )dcos(- 21- tp+ )dsin(=0tp+ )dcos(- 21- tp+ )dsin(=tp+ )dcos(21- 则=tg tp+ )dtg(d tp=0,2tp=d21- n
7、=d tp=3. 超调量% 代入公式：第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析tp=d%=c(tp)-100%c( ) c( ) c(tp )=1-tp+ )entp- 21- dsin()=1-+21- sin(e-1-2 )=-+21- sin(=1+e-1-2100%c(tp)-1 1%=e-1-2100%tc(t)01tp%另则4. 调节时间ts可用近似公式：5%误差带2%误差带当大于上述值时， 可用近似公式计算：ts =3T0.707之后又有 ts。综合考虑系统的平稳性和快速性，一 般取= 0.707为最佳。3）准确性：由和 n决定。的增加和n的减小虽然对系统的平稳 性有利，但
8、使得系统跟踪 斜坡信号的稳态 误差增加。例 已知系统的闭环传递函数 ，当K = 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃响应和性能指标% ,ts 。 (s)=s2+3s+KK解： (1) K = 2=1.061C(s)=2s(s+1)(s+2)第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析(s)=s2+3s+222 = 2n 2n =3c(t)=1-2e-t+e-2t1=ss+1-21s+2+tc(t)01系统性能指标 ts=3T1=3(2) K = 4(s)=s2+3s+44=0.7512 =4n 2n =3c(t)=1-t+ )ent- 21- dsin(=1-1.5e-1.5t sin(1
9、.32t+41.4o) %=100%e-1-2=2.8% ts= 4n =2.6732.67例 已知随动系统的结构如图, 试计算在 不同参数下, 系统的动态性能指标。 r(s)1/iCe s(Tms+1)- c(s)KsKa = 1+ r(s)KsKa/iCe s(Tms+1) c(s)KsKa/iCe s(Tms+1)Tms2+s+KsKa/iCe=KsKa/iCe=s2+Fs+KKF=Tm1KsKa TmiCeK=设 F=34.5 则(s)=s2+34.5s+KK下面求取不同K时系统的性能指标。解： 闭环传递函数 (1) K=1000第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析(s)=s
10、2+34.5s+KK(s)=s2+34.5s+100010002 =1000n 2n =34.5 =0.545=31.6n =0.12=0.17=13%tp=21- n ts= 3n %=100%e-1-2c(t)t0随动系统响应曲线1(2) K=7500(s)=s2+34.5s+750075002 =7500n 2n =34.5 =0.2=86.2n =0.037=0.17tp=21- n ts= 3n =52.7%=100%e-1-2(3) K=150(s)=s2+34.5s+1501502 =150n 2n =34.5 =1.41=12.25n (s)=(s+5.1)(s+29.4)15
11、0=0.196T1=5.11T2=29.41=0.03ts=3T1=0.590.170.59(s)=C(s) R(s)n n s2+2 s+n=22 s+1)n n (s2+2 s+ n(s+z) z) =22s+1-R(s)n C(s) s(s+22 n)第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析四、带零点二阶系统单位阶跃响应系统结构为时间常数闭环零点n n (s2+2 s+ ns z) +2n n s2+2 s+n=222n n (s2+2 s+ n(s+1) 1) =22 设R(s)C1(s)n n s2+2 s+n=22 则sC(s)=C1(s)+zC1(s)c(t)=c1(t)+
12、dc1(t) dt1z设R(s)=s101 c1(t)=L-1 n n (s2+2 s+ ns) 22 =1-t+ )ent- 21- dsin(dc1(t) dt=-dent- 21- n t+ )dsin(t+ )dcos(c(t)=1-de21- n t+ )+d)sin(t+ )dcos(1z(z-nt-=1-dent- 21- n t+ )+dsin(t+ )dcos(lzz- ll第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析系统参数间的关系: S1S2 0d- nd-nj-zc(t)=1-dent- 21- n t+ )+dsin(t+ )dcos(lzz- lll l=|z-s
13、1|)2+2n = d(z-|n =cos |z- ld=sin l 根据计算结果:sincos=1-ent- 21- t+ )+dsin(t+ )dcos(lz =1-+ent- 21- t+)dsin(lz可求得系统的性能指标:e100%=lz(- 1-2)( +-)tr=21- n 1)(3+lnlzn ts=(5%)1)(4+lnlzn ts=(2%)增加零点后 ,上升时间缩短, 系统的初始响应 加快,系统的振荡 性也增加。第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析c(t)t01二阶系统带零点系统系统的平稳性和快速性对系统结构 和参数的要求往往是矛盾的,工程中通过 在系统中增加一些
14、合适的附加装置来改 善二阶系统的性能。常用附加装置有比例微分环节和微 分负反馈环节，通过附加的装置改变系 统的结构,从而达到改善系统性能的目的.第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析五、改善二阶系统性能的措施1比例微分控制比例微分控制二 阶系统结构图开环传递函数: 闭环传递函数:得第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析(s)=n s2+(2 +n2n)(s+1 )s+22n s+=n s2+2 n2n)(s+12-R(s)s+1n C(s) s(s+22 n) n n =2 +2n 2 =2 +nG(s)=n)(s(s+2 )s+1n2对二阶系统性能的改善 c(t)t01二阶系统加比例微分比例微分控制 使系统阻尼比增大, 超调量将减少.若传 递函数中增加的零 点合适，将使得系 统响应加快。2微分负反馈控制开环传递函数加微分负反馈系统:第三节第三节 二阶系统性能分析二阶系统性能分析(s)=n s2+(2 +n2n )s+22nG(s)=n s2+2 +n ss22n
