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1、推广第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同多元函数微分法 及其应用 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 一、 区域 1. 邻域点集称为点 P0 的 邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域记为目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域 (1) 内点、外点、边界点设有点
2、集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点 .的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .E
3、 的边界点 )目录 上页 下页 返回 结束 D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;目录 上页 下页 返回 结束 例如，在平面上开区域闭区域目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 是开集，是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;但非区域 . 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离
4、AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 .否则称为无目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式目录 上页 下页 返回 结束 定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ; 数集称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作目录 上页 下页 返回 结束 例如, 二元函数定义域为圆域说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超
5、曲面.单位闭球目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数的极限 定义2. 设 n 元函数 点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作 ：P0 是 D 的聚 若存在常数 A ,对一记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,切目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设求证:证:故总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设求证：证 ：故总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同 !
6、在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例3. 讨论函数函数目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求解: 因而此函数定义域 不包括 x , y 轴则故目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注. 二重极限不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3目录 上页 下页 返回 结束 四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续, 此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 目录 上页 下页 返
7、回 结束 例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数上间断.故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.目录 上页 下页 返回 结束 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式例5.求例6. 求函数的连续域.解:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 区域 邻域 : 区
8、域连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数目录 上页 下页 返回 结束 有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性 1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P62 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P130 题 3思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 解答提示:P62 题 2. 称为二次齐次函数 .P63 题 4.P63 题 5(3).定义域P63 题 5(5).定义域目录 上页 下页 返回 结束 P63 题 8.间断点集P130 题 3. 定义域目录 上页 下页 返回 结束 练习题1. 设求解法1 令目录 上页 下页 返回 结束 1 .设求解法2 令即目录 上页 下页 返回 结束 2. 证明在全平面连续.证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得
