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1、第二章 连续系统的时域分析系统的数学模型微分方程的经典解法零输入响应冲激响应卷积积分与零状态响应1 微分算子及其特性u定义则：则：对于算子方程：其含义是：微分算子的主要特性u微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方 程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。 u多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算， 也可以像代数式那样进行因式分解的运算。 u算子方程两边的公共因子一般不允许消去。如：如：但：但：但在某种情况下公共因子可以消去，如：但在某种情况下公共因子可以消去，如：但简单的如：简单的如：但微分算子的主要特性u转移算子：HH( (p p) )把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。
2、即：把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：若：若：，则，则系统的自然频率(特征根)： 的根为系统的自然频率或特征根。 算子阻抗： 对电感：LpLp 算子阻抗算子阻抗对电容： 算子阻抗算子阻抗引入了算子阻抗后，网络的微分方程引入了算子阻抗后，网络的微分方程 可以通过电路分析课程的分析方法列可以通过电路分析课程的分析方法列 出。如网孔法、节点法、叠加定理、出。如网孔法、节点法、叠加定理、 戴维南定理等。戴维南定理等。例 1列出电路的微分方程，变量为列出电路的微分方程，变量为i i2 2。解：网孔方程为：解：网孔方程为：故，微分方程为：故，微分方程为：例 2求如图所示电路的转移算子：求如
3、图所示电路的转移算子：解：解：用用节点节点方程方程可可求得求得：2 微分方程的经典解法u全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应)u 齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频 率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有 不同的形式。一般形式（无重根）：u 特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式 ，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦 信号时，特解就是稳态解。 u 用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方 程有n 个常数，可用个 n 初始值确定。为特征根为特征根例 1描述某线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的方程为试求：当试求：当 时的全解。时的全解。解：解：(1)求齐次解，特征根
4、为：(2)(2)求特解：设特解为：求特解：设特解为：将将上式上式代入原微分方程，得：代入原微分方程，得： 即：即： 比较系数可得：比较系数可得：解解之之：全全解的通解为：解的通解为：将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式，得：自由响应自由响应强迫响应强迫响应故，全解为：故，全解为：全响应=零输入响应+零状态响应u零输入响应的求法与齐次解一样为特征根为特征根由初始值确定由初始值确定零状态响应的求法与求非齐次方程一样为特征根为特征根由零状态初始值确定由零状态初始值确定例 2描述某线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的方程为试求：当试求：当 时的时的零输入响应零输入响应和零状态响应和零状态
5、响应。解：解：(1)零输入响应，特征根为：(2)(2)零状态响应零状态响应：特特解求法同例解求法同例1 1，将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式，得：代入初始值，得代入初始值，得解解得得齐次微分方程：D(p)r(t)=0，特征方程： D(p)=0零输入响应的一般形式u设系统为零输入零输入 e e(t)=0 (t)=0 时，即时，即 D(p)r(t)=0若无重根：若有K阶重根，即： 例 3已知系统的转移算子已知系统的转移算子 ，初始条件为，初始条件为, , 试求系统的零输入响应试求系统的零输入响应 r rzi zi(t (t) )。并画出草图。并画出草图。解：令解：令 得：得：代入初值得：
6、代入初值得：解得：解得：故：故：例 4已知系统的转移算子已知系统的转移算子 ，初始条件为，初始条件为, , 试求系统的零输入响应试求系统的零输入响应 r rzi zi(t (t) )。并画出草图。并画出草图。解：令解：令 得：得：代入初值得：代入初值得：解得：解得：关于初始状态的讨论u0 状态和 0 状态 u 0 状态称为零输入时的初始状态。即初始值 是由系统的储能产生的； u 0 状态称为加入输入后的初始状态。即初始 值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 u各种响应用初始值确定积分常数的区别 u 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值。 u 在求系统零输入响应时，用的是 0 状
7、态初始 值。 u 在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始 值，这时的零状态是指 0 状态为零。关于初始状态的讨论u从 0 状态到 0 状态的跃变u 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始 值从0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方 程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。 u 如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0 状态到0状态发生了跳变。 u0 状态的确定 u 已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹 配法。见有关参考资料。 u 求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初 值定理求出，见第5章内容。课堂练习题2-1 已知系统的微分方程为 ，且初始条件为 y(0)=3和y(0
8、)=4。求系统的自由响应、强迫响应、零输 入响应、零状态响应及全响应。并弄清楚几种响应之间 的关系。3 冲激响应和阶跃响应冲激响应的求法 v 直接求解法 v 间接求解法 v 转移算子法 阶跃响应的求法是冲激响应的积分 冲激响应 直接求解法输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应， 称为冲激响应。用 h(t) 表示。u若一阶系统为 冲激响应为：冲激响应为：t t 00+ +后冲激响应后冲激响应 与零输入响应的与零输入响应的 形式相同形式相同将将h h(t)(t)代代入原方程：入原方程： 即：即：故：故： 若一阶系统为 冲激响应为：冲激响应为：比较系数： 故：故：冲激响应 直接求解法u对于 n 阶
9、系统为当当 n n m m 时：时：当当 n=m n=m 时：时：当当 n m m 时：时：当当 n n m m 时：时：再按部分分式展开。再按部分分式展开。阶跃响应输入信号为单位阶跃函数时系统的零状态响 应，称为阶跃响应。用 r (t) 表示。u阶跃响应的形式阶跃响应与冲激响应的关系：对于对于 n n 阶系统：阶系统：特解为 ，齐次解的确定与冲激响应类似。当当 n n m m 时：时： r (t)中含有中含有t t ，确定方法与冲激响应类似。确定方法与冲激响应类似。当当 n n m m 时：时：例 1 方法一：用直接求解法 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为 试求其冲激响应试求其冲激响
10、应h h(t)(t)。 解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根： 冲激响应的形式为：冲激响应的形式为： 对上式求导，得：对上式求导，得：将上述三个等式及将上述三个等式及 代入原微分方程，经整理代入原微分方程，经整理比较方程两边系数，解得：比较方程两边系数，解得： 故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：此例说明了用直接法的步骤：此例说明了用直接法的步骤： 确定冲激响应的形式；确定冲激响应的形式； 将冲激响应代入原方程，将冲激响应代入原方程， 用待定系数法确定其系数。用待定系数法确定其系数。 例 1 方法二：用间接求解法 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为 试求其冲激响应试求其
11、冲激响应h h(t)(t)。 解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根： 设设t t 单独作用时的单独作用时的冲激响应：冲激响应：故，系统的冲激响应为：故，系统的冲激响应为：其初始值为：其初始值为：代入上式有：代入上式有：解得：解得：此例说明了用间接法的步骤：此例说明了用间接法的步骤： 确定单输入确定单输入t t 的的冲激响应冲激响应h ho o(t)(t)； 利用线性时不变特性求利用线性时不变特性求h h(t)(t)。 例 1 方法三：用转移算子法 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为 试求其冲激响应试求其冲激响应h h(t)(t)。解：先求出方程的特征根：解：先求出方程的特征根：
12、转移算子为转移算子为故，系统的冲激响应为故，系统的冲激响应为此例说明了用转移算子法的步骤：此例说明了用转移算子法的步骤： 确定系统的转移算子确定系统的转移算子HH(p)(p)； 用部分分式法展开用部分分式法展开( (有理化后有理化后) ) 写写出冲激响应出冲激响应 h h(t)(t)。 例 2如图所示电路如图所示电路, , 以以 u uS S为输入为输入, , u u2 2为为输出，试列出其微分方程，用时输出，试列出其微分方程，用时 域分析法求出电路的冲激响应和域分析法求出电路的冲激响应和 阶跃响应。阶跃响应。 解：解：系统转移算子为系统转移算子为：电路的微分方程为：电路的微分方程为：冲激响应
13、为：冲激响应为：阶跃响应为：阶跃响应为：例 3电路如图所示，电容电路如图所示，电容C C原已充电到原已充电到3V3V，现通过强度为，现通过强度为 8 8 ( (t) t) 的冲激电流的冲激电流, , 则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量 为为_。( (A) 7V (B) 4VA) 7V (B) 4V(C) 3V (D) -4V (C) 3V (D) -4V8 8 ( (t) t) 2F2F跃变量为：跃变量为： B B例 4电路如图所示，电路如图所示，C=0.1F, L=1H, C=0.1F, L=1H, R=2R=2, , 在在t=0t=0时，电路处于零状态时，电路处于零状态，则：，则：i iC C(0(0+ +)=)=_A, _A, i iL L(0(0+ +)=)=_A, _A, i iR R(0(0+ +)=)=_A_A。故，有：故，有： -5-5从上式分析：从上式分析：u uC C 有跃变有跃变，i iL L 不不可能跃变可能跃变。对上式两边从对上式两边从0 0- -到到0 0+ +积分有：积分有：0 05 5 ( (t) t) C CL LR R课堂练习题下一节下一节
