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1、*1第九章第九章 方差分析及回归分析方差分析及回归分析 1 单因素试验的方差分析（一）单因素试验在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素很多 。 方差分析是根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果影响的有效方法。 在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标。影响试验 指标的条件称为因素。因素可分为两类，一类是人们可以 控制的（可控因素）；一类是人们不可控制的。以下我们 所说的因素都是指可控因素。因素所处的状态，称为该因 素的水平。如果在一项试验中只有一个因素在改变时称为 单因素试验。如果多于一个因素在改变称为多因素试验。*2例1 设有三台机器，用于生产规格相同的铝 合金薄板。取样，测量
2、薄板的厚度精确至千 分之一厘米。得结果如下表所示。机器1 机器2 机器3 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 这里，试验的指标是薄板的厚度。机器为因素，不同的 三台机器就是这个因素的三个不同的水平。我们假定除 机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其他 条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是为了考 察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异。铝合金板的厚度*3例2 下面列出了随机选取的、用于计算器的 四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。类型
3、1 类型2 类型3 类型4 1915 20 40 16 17 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26电路的响应时间这里，试验的指标是电路的响应时间。电路类 型为因素，这一因素有四个水平。这是一个单 因素的试验。试验的目的是为了考察各种类型 电路的响应时间有无显著性差异。*4例3 三名工人分别在四种不同的机器上生产同一种零件， 每人在每台机器上工作3天，其日产量如下表所示：工人(B)B1B2B3机 器 (A)A115,15,1719,19,1616,18,21A217,17,1718,15,1519,22,22A315,17,1618,17,1618,18,18A
4、418,20,2215,16,1717,17,17*5这里试验指标是零件的日产量，工人和机器 是因素，它们分别有3个、4个水平。这是一个双 因素试验。试验目的在于考察不同工人在不同机 器上生产零件的日产量有无显著差异。 本节先讨论单因素试验的方差分析。 *61、对变量因素的某一个水平，第 个水平进 行试验，得到的观察结果 看作是从 正态总体 中取出的一个容 量为 的样本，且 均未知 。（二）方差检验的基本前提：*7设因素A有r个水平A1，A2，Ar，在每个水平Ai(i=1，2， ，r)下，进行ni (ni2)次独立试验，整理试验结果如下表所示。 试验结果试 验 批 号样本 和样本均 值1 2
5、j ni因 素 水 平其中Xij表示在水平Ai下进行第j次试验的结果(j=1 ，2，ni，i=1，2，r)。 *8（1.1）*9（三）统计假设（1.2）*10*11*12（四）检验方法*13因为所以*14若记*15*16*17*18*19单因素试验方差分析表方差来源平方和自由度 均方F比因素A误差总和r-1n-rn-1*20*21*22例4 设在例1中符合模型（1.1）条件 ，检验假设（ =0.05)：*23方差来源平方和自由度均方F比因 素误 差0.001053330.0001922120.000526670.00001632.92总 和0.0012453314例1的 方差分析表*24（五）
6、未知参数的估计*25*26*27（一）双因素等重复试验的方差分析2 双因素试验的方差分析*28*29*30此时，*31对于这一模型要检验以下三个假设*32*33双因素试验的方差分析表方差来源 平方和 自由度均方F 比因素A误差总和s-1(r-1)(s-1)rst-1因素Br-1rs(t- 1)交互作用*34记*35*36例5 在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度（ 因素B）与时间（因素A）各取两个水平，产品强度 的测定结果（相对值）如下表所示。在同一条件下每 个实验重复两次。设各水平搭配下强度的总体服从正 态分布且方差相同。各样本独立。问热处理温度、时 间以及这两者的交互作用对产品强度是否
7、有显著的影 响（取 =0.05）？ABA1A2B2B1Ti.T.j.38.0 38.6(76.6)45.0 43.8(88.8)47.0 44.8(91.8)42.4 40.8(83.2)168.4172165.4175340.4*37*38得方差分析表如下：方差来源 平方和 自由度均方F 比因素A误差总和17因素B1AB1.6211.5254.084.671. 82141.6211.5254.081.15*39*40（二）双因素无重复试验的方差分析如果两个因素不存在交互作用，或者交互 作用对试验的指标影响很小，则可以不考 虑交互作用。因素B B1 B2 Bs因素AA1 X11 X12 X1s
8、 A2 X21 X22 X2s Ar Xr1 Xr2 Xrs *41此时，需要检验的假设有：*42可得方差分析表如下：方差来源 平方和 自由度均方F 比因素A误差总和s-1rs-1因素Br-1(r-1)(s-1)*43表中平方和的计算如下：*44*45例6 为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长 影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头 进行试验，分别测得其3个月间体重增加量 如下表：饲料品种A1A2A3B1B3B2TjTi515352156565758171454947141152159157 T=468*46假定其体重增长量服从正态分布，且 各种配合的方差相等。试分析不同饲料与 不同品种对猪生长
9、有无显著影响。*47*48列出方差分析表方差来源 平方和 自由度均方F 比因素A误差总和28因素B24*49*50前面讨论的方差分析是考察因素对试验指标 影响的显著性，而在有些问题中还需要了解指标 随因素改变的变化规律，也就是寻找指标与因素 之间的定量表达式。 在现实世界中，我们常常会遇到多个变量 同处于一个过程之中，它们之间存在着相互联 系，相互制约的关系。3 一元线性回归*51回归分析就是寻找这类具有不完全确定关系的变量间的数学关系式并进行统计推断的方法。 (2) 统计关系或称相关关系, 即变量之间虽然存在着种 种关系，但从一个(或一组)变量的每一确定值，却不能 求出另一变量的值。: (1
10、)确定性关系，即高等数学中所学过的函数关系。例如 电压V，电阻R与电流强度I之间有关系式：V=IR，圆的 面积S与圆的半径R之间有关系S = 等等。例如人们的身高X与体重Y之间关系，某种商品的销售量Y 与商品的价格X之间的关系，某种农作物的产量与施肥量 、气候、农药之间的关系等等。其特点是它们之间的关系 是不能用一个确定的函数关系表达出来。两类关系*52设随机变量y与x之间存在着相关关系，这里，x是可控 变量，如身高、价格、温度等，可以将x看成一个普通变量 而不是一个随机变量。 由于y与x之间不存在完全确定的函数关系，因此必须 把随机波动产生的影响考虑在内。也就是说y可以看作两 部分叠加而成，
11、一部分是随 x的变化而变化，记为f(x)， 另一部分是由随机因素引起的，记为 其中f (x)随x而确定，是x的普通函数，故又称回归函数。 1、回归模型*53*542. 定义为了研究y与x之间的关系，进行n次独立试验，实测数据对 为： 。 其中, 是可控变量x 的一个指定值， 是当 时随机变量 y的对应实测值。讨论时，一般是将实测数据在坐标系中画出散点图*55*56*57*58例1 以家庭为单位，为研究某商品的价格(元)对商品的需求量(kg)的影响，现测得一组数据如下： 价格xi(元)1222.32.52.62.833.33.5需求量yi(kg)53.532.72.42.521.51.21.2试
12、求y关于x的线性回归方程。 解: 作散点图，从这10对数据的散点图可以看出，所有的散 点大致分布在一条直线附近。故可用线性回归方程求解 。 设y对x的回归方程为： *59*60序号12345678910xi1222.32.52.62.833.33.525yi53.532.72.42.521.51.21.225xiyi5766.2166.55.64.53.964.254.97xi21445.296.256.767.84910.89 12.25 67.28yi22512.2597.295.766.2542.251.441.4474.68*61于是，所求的回归方程为*62*63（四）回归系数的假设检
13、验*64*65*66例2 在显著性水平 下，检验例1得到的 线性回归方程的显著性。 解 沿用例1的结果 因此*67值得注意的是，当我们检验后，接受H0：b=0时，即认为y 对x的线性关系不显著时，并不意味着y与x就不相关。事实 上，线性回归效果不显著可能有如下几种情形：(1) 影响y取值的，除了x外，还有其它不可忽略的因素 ；(2) y与x的关系不是线性的，但存在着其他相关关系；(3) y与x确实不存在相关关系。因此，需要作进一步的分析、研究。*68*69*70*71*72*73挂物的重量xi(牛) 弹簧的长度yi(厘米 )50 100 150 200 250 3007.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8*74*75*76*77*78（八）可化为一元线性回归的例子*79*80*814 多元线性回归*82*83*84*85*86*87*88x
