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1、第三章 多元线性回归分析 多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验 多元线性回归模型的预测3.1 多元线性回归模型 一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定 一、多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。一般表现形式：i=1,2,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数（ regression coefficient）。习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该 虚变量的样本观测值始终取1。这样：模型中解释变量的数目为（k+1） 也被称为总体回归函数的随机表达形式。它 的 非随机表达式为:方程表示：各变量X值固定时Y的
2、平均响应。j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量 保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的 均值E(Y)的变化;或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接 ”或“净”（不含其他变量）影响。二、多元线性回归模型的基本假定 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各 X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及无 序列相关性假设3，解释变量与随机项不相关 假设4，随机项满足正态分布 3.2 多元线性回归模型的估计 估计方法：OLS一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题四、估计实例 一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值如果样本函数的参数估
3、计值已经得到，则有 ： i=1,2n根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 其中于是得到关于待估参数估计值的正规方程组 ： 随机误差项的方差的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 四、参数估计量的性质在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通 最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性 其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性 这里利用了假设: E(X)=03、有效性（最小方差性） 其中利用了 和五、样本容量问题 所谓“最小样本容量”，即从
4、最小二乘原理和最大 或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如 何，所要求的样本容量的下限。 最小样本容量样本最小容量必须不少于模型中解释变量 的数目（包括常数项）,即n k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+12、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度：n30 时，Z检验才能应用；n-k8时, t分布较为稳定 一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足 模型估计的基本要求。 模型的良好性质只有在大样本下才能 得到理论上的证明六、多元线性回归模型的参数估计实例 例3.3,投资函数模型-多元线性模型。解释变量：时间 x1 1-16实际GNP x2被解释变量y：实际投资
5、Eviews软件估计结果 Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/15/12 Time: 10:50Sample: 1968 1983Included observations: 16VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C-0.4864630.053836-9.0359360.0000X1-0.0165930.001819-9.1226060.0000X20.6391170.05289612.082620.0000R-squared0.958362 Mean dependent
6、 var0.203750Adjusted R-squared0.951957 S.D. dependent var0.033061S.E. of regression0.007246 Akaike info criterion-6.849241Sum squared resid0.000683 Schwarz criterion-6.704381Log likelihood57.79393 F-statistic149.6088Durbin-Watson stat1.313453 Prob(F-statistic)0.0000003.3 多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验二、方程的显
7、著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验）四、参数的置信区间 一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数则总离差平方和的分解由于 =0 所以有： 注意：一个有趣的现象可决系数该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解 释变量， R2往往增大。这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只 要增加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数 引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。调整的可决系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定 使得自由度减少，所
8、以调整的思路是:将残差平方 和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔 除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平 方和的自由度。二、方程的显著性检验(F检验) 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变 量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著 成立作出推断。1、方程显著性的F检验 即检验模型Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的参数j是否显著不为0。可提出如下原假设与备择假设： H0： 0=1=2= =k=0H1： j不全为0F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS如果这个比值较大，则X的联合体对Y的
9、解释程度 高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存 在线性关系。因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推 断。根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立 的条件下，统计量 服从自由度为(k ， n-k-1)的F分布 给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1) ，由样本求出统计量F的数值，通过F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的 线性关系是否显著成立。 对于上海居民消费支出的例子：一元模型：F=5216.478二元模型：F=149.6088给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界 值：一元例：F(1,21)=4.32
10、二元例： F(2,19)=3.52显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立 。2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论 由可推出 ：与或在中国居民人均收入-消费一元模型中，在中国居民人均收入-消费二元模型中， 三、变量的显著性检验（t检验）方程的总体线性关系显著每个解释变量对被 解释变量的影响都是显著的因此，必须对每个解释变量进行显著性检验 ，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的 t 检验完成的。1、t统计量 由于以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素 ，于是参数估计量的方差为： 其中2为随机误差项的方差，在实际计
11、算 时，用它的估计量代替: 因此，可构造如下t统计量 2、t检验设计原假设与备择假设： H1：i0 给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1) ，由样本求出统计量t的数值，通过|t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变 量是否应包括在模型中。 H0：i=0 （i=1,2k） 注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致 一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 H0：1=0 进行检验;另一方面，两个统计量之间有如下关系： 在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中， 由应用软件计算出参数的t值：给定显著性水平=0.05，查得相应临界
12、值： t0.025(19) =2.093。可见，计算的所有t值都大于该临界值，所以 拒绝原假设。即:包括常数项在内的3个解释变量都在95%的水 平下显著，都通过了变量显著性检验。四、参数的置信区间 参数的置信区间用来考察：在一次抽样中所估 计的参数值离参数的真实值有多“近”。在变量的显著性检验中已经知道：容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信区间是 其中，t/2为显著性水平为 、自由度为n-k-1的临界值。 在上海居民消费支出二元模型例中,给定=0.05，查表得临界值：t0.025(13)=2.160计算得参数的置信区间：0 ：(？, ？) 1 ： (？, ？ )2 ：(0.5248616, 0.753367)从回归计算中已得到：如何才能缩小置信区间？ 增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越 大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容 量，还可使样本参数估计量的标准差减小；提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标 准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差 平方和应越小。
