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1、 第七章第七章 主要内容安排主要内容安排 71 应力状态的概念72 二向应力状态分析解析法73 二向应力状态分析图解法74 三向应力状态研究应力圆法75 广义胡克定律76 复杂应力状态下的应变能密度77 强度理论及其应用7 应力状态的概念 一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？FF低碳钢拉伸 F铸铁压缩M低碳钢铸铁2、问题：组合变形杆将怎样破坏？MF四、普遍状态下的应力表示三、单元体：单元体包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体单元体的性质a、各面应力均布；b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：过一点各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态xyzxzyxy
2、xyz xzyxy五、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):过一点的两个正交面上与相交边垂直的切应力分量数值等值、方向相对或相离。六、单元体的画法例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPA AxxMPxyzBCzxxx B xzxyyx七、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principal body)：各侧面上切应力均为零的单元体。主面(Principal Plane)：切应力为零的截面。主应力(Principal Stress ）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，123yxzxyz单向应力状态（Unidirect
3、ional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。Axxzx x x B xz72 二向应力状态分析解析法x xyyxyzxyxxyyO规定： 与截面外法线同向为正； 绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1一、任意斜截面上的应力xyxxyyOyxyxxyOtn图2设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：yxyxxyOn同理：二、极值应力xyx xyyOxyxxyyO正应力平
4、面和切应力平面相差45度例2 分析受扭构件的破坏规律。MC解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力xyCyxMCxyOxyyx破坏分析 低碳钢铸铁例3 单元体的应力状态如图所示，试求主应 力并确定主平面75MPa25MPa40MPa解：1）主应力2）主平面73 平面应力状态分析图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（ Stress Circle）xyx xyyOyxyxxyOn 此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx) AB与 轴的交点C便是圆心。
5、以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；x xyyxyOnOCA(x ,xy)B(y ,yx)x2nD( , )x xyyxyOnOCD(x ,xy)D(y ,yx)x2nE( , )三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力( ， )应力圆上一点( ， )两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。 FB四、在应力圆上标出极值应力OCA(x ,xy)B(y ,yx)x21 201233例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB 12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆012BAC20aa(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内
6、画出点312BAC20aa(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图 102AB解法2解析法：分析建立坐标系如图60xyO74 三向应力状态研究应力圆法12xyz31、三向应力状态（空间应力状态）xyzABContpxpypznn1）设ABC的法线n的三个方向余弦分别为l，m，n，则：2）设ABC的面积为dA，则：3）ABC面应力p可分解为px， py，pz，则：4）ABC面应力p还可分解为n， n，则：1xyzABContpxpypznn23xyzABContpxpypznn21xyz32、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内
7、的一点。图a 图b整个单元体内的最大切应力为：max21xyz3例4 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主面建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:5040xyz30 10(M Pa)（M Pa ）AB CAB123max75 复杂应力状态下的应力 - 应变关系（广义胡克定律）一、单拉下的应力-应变关系二、纯剪的应力-应变关系xyzxxyz x y三、复杂状态下的应力 - 应变关系依叠加原理,得:xyzzyxyx三、复杂状态下的应力 - 应变关系xyzzyxyx主应力 - 主应变关系方向一致132四、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间
8、的关系:132a1a2a3例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。ppp x1 mlp ODx ABy1、轴向应力:(longitudin
9、al stress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程pmmxD用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)3、求内压（以应力应变关系求之）t m 外表面yp t t DqdqzO76 复杂应力状态下的应变能密度23 1图 a23 1图 a图 c3 -m 1-m2-mm图 bmm称为形状改变应变能密度或歪形能。图 c3 -m 1-m2-m:单元体的应变能密度为：图b例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体主应力下应变能密度表示为：xyA1377 强度理论及其应用一、强度理论的概念1、铸
10、铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？PP铸铁拉伸 P铸铁压缩M低碳钢铸铁问题：组合变形杆将怎样破坏？MP2、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。3、材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。1、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断裂。1）、破坏判据：2）、强度准则：3）、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 二、 四个强度理论及其相当应力2、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应
11、变时，构件就断裂。1）、破坏判据：2）、强度准则：3）、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 3、最大切应力（第三强度,Tresca）理论：认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就失效了。1）、破坏判据：3）、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 2）、强度准则：4、畸变能密度（第四强度,Mises）理论：认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。即认为无论什么应力状态，只要畸变能密度当畸变能密度 达到单向拉伸试验屈服极限时，构件就失效了。1）、破坏判据：2）、强度准则3）、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 莫尔强度理论是由综合实验结果建立的，
12、主要考虑了材料抗拉和抗压强度不相等的情况。5、莫尔强度理论1）、破坏判据：3）、实用范围：实用于破坏形式为屈服或断裂的构件。 2）、强度准则：三、强度理论的相当应力1、强度计算的步骤：1）、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。2）、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体 ，求主应力。3）、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。四、强度理论的应用2、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1）、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；3）、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：2）、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；4）、
13、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。其它应力状态时，使用第三或第四理论。例1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,F=50kN, 为铸铁构件，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。FFTTA解：危险点A的应力状态如图：故，安全。FFTTAA AA例2 图a所示为承受内压的薄壁容器。在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350 ，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25， =170MPa，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。3.试用第三强度理论校核其强度。ppp x1 mlp ODx ABy1、轴向应力:(longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程pmmxD用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)3、求内压（以应力应变关系求之）t m 外表面yp t t DqdqzO所以，此容器满足第三强度理论，故安全。t m 外表面作业 7-2，7-4（a），7-5（a） 7-10，7-26 7-19，7-34
