第五章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法

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1、 5-1 引言一般时域离散系统或网络可以用差分方 程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述 。如果系统输入、输出服从N阶差分方程 ：则其系统函数 H(z)为：H(z)X(z)Y(z)其方框图表示如下：若给定一个差分方程，不同的算法 有很多种，而不同的算法直接影响系统 运算误差、运算速度以及系统的复杂程 度和成本等，因此研究实现信号处理的 算法是一个很重要的问题。5-2.用信号流图表示网络结构实现数字信号处理,只需三种基本运 算，即：加法、单位延迟、乘常数。 三种基本运算的方框图表示法和信 号流图表示法分别如下所示。1、方框图法方框图法简明且直观，其三种基本运算 如下图所示：单位延时:(n)乘常数:

2、(n)aaz-1相加:例如：x(n)b0b0x(n)y(n)2、信号流图法三种基本的运算：单位延时：乘常数：相加：这种表示法更加简单方便。几个基本概念：a）输入节点或源节点， 所处的节点；b）输出节点或阱节点， 所处的节点；c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输出的节点；将值分配到每一支路;d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以上输入的节点。*支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1 ；任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。 不同的信号流图代表不同的运算方法 ， 而对于同一个系统函数可以有很多种信号 流图与之相对应。根据信号流图可以求出 网络的系统函数，方法之一是列出各个节 点变量方程，

3、求解该方程，推导出输入与 输出之间的关系，但这种方法在结构复杂 时求解比较麻烦；方法之二是使用梅森 (Masson)公式直接写出 的表示式，关 于梅森公式参见附录A。1例如，和点：1，5；分点：2，3，4；源点：6；阱点：7235467a1y(n-1)y(n)一般将网络结构分为两类，一类称为有限长 脉 冲响应网络，简称FIR网络，另一类称为无限长脉 冲网络，简称IIR网络。FIR网络一般不存在输出 对 输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：其单位脉冲响应 是有限长的。另一类IIR网 络 结构存在存在输出对输入的反馈支路，也就是说 ， 信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应 是 无限长的。

4、5-3 无限长单位冲激响（IIR）基本网络结构一、IIR滤波器的特点1、单位冲激响应 是无限长的。2、系统函数 在有限Z平面（ ）上有极点存在。3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。二、基本结构1.直接I型（1）系统函数（2）差分方程（N阶）(3)结构流图按差分方程可以写出。(4)特点第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。*共需（M+N）个存储延时单元。2.直接II型（正准型 ） 3.级联型 先将系统函数按零、极点进行因式分解其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭 零点，dk ，

5、dk*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2 再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子，则得为了方便，分子取正号，分母取负号；这样，流图上最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将的系数均为正。一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则有当（M=N=2）时AB当（M=N=4）时当（M=N=6）时特点：仅影响第k对零点，同样仅影响第k对极点，便于调节滤波器的频率特性。所用的存储器的个数最少。AZ-1Z-1。；注意：*如果有奇数个实零点，则有一个；同样，如果有奇数个实极点，则有一个 *通常M=N时，共有（N+1）/2节，符号(N+1)/2表示取（N+1)/2的整数。4.并联型将 展成部分分式形式

6、：其中，均为实数，与复共轭当 时，不包含项；M=N时，该项为 。当M=N时，将两个一阶实极点合为一项，将共轭极点化成实系数二阶多项式， 可表为：当N为奇数时，包含一个一阶节，即例：M=N=3时，为奇数，故所以：其结构图如下：X(Z)Y(z)三.转置定理 如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入 和输出交换其系统函数仍不改变。（原网络）（转置后的网络）h(n)为一个N点序列，Z=0处为（N-1）阶极点，5-3 FIR滤波器的基本结构一.特点： 1、 在有限个n值处不为零。 2、 在处收敛，极点全部在Z=0处。 3、非递归结构。，有（N-1）阶零点。二.基本结构1.横截型（卷积型、直接型）它就

7、是线性移不变系统的卷积和公式h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)用转置定理可得另一种结构2.级联型将 分解为实系数二阶因子的乘积形式h(N-1)h(N-2)h(N-3)h(2)h(1)h(0)注：N/2表示取N/2的整数部分，如*N为偶数时，N-1为奇数，这时因为有奇数个根， 所以中有一个为零。当N为奇数时的结构如下：特点：每节结构可控制一对零点。 所需系数多，乘法次数也多。一般情况：例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出H(z)的直接型结构和级联型结构。解: 将H(z)进行因式分解，得到：H(z)=(0.

8、6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。 图5.4.2 例5.4.1图3. 频率采样结构（频率抽样法）频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点 数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大 于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时 原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式 ：设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函 数H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示：要求频率域采样点数NM。(5.4.1)式提供了一 种称为频率采样的FIR网络结构。将(5.4.1)式写成下式： (5.4.2)

9、式中 Hc(z)是一个梳状滤皮网络(参考第八章)，其零点为图5.4.3 FIR滤波器频率采样结构 频率域采样结构有两个突出特点：(1)在频率采样点k，H(ejk)=H(k)，只 要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系 数H(k)，就可以有效地调整频响特性，使 实际调整方便。(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响 形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部 分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不 同。这样，相同部分便于标准化、模块化 。 然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来 保证的。 (2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器

10、完 成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收 缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为(5.4.3) 另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实 数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对 称，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我们将 hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结 构如图5.4.4(a)所示。当N为偶数时，h(z)可表示为式中 (5.4.4) 式中，H(0)和H(N/2)为实数

11、。(5.4.4)式对应的频 率采样修正结构由N/2-1个二阶网络和两个一阶网络 并联构成，如图5.4.4(b)所示。图5.4.4 频率采样修正结构 当N=奇数时，只有一个采样值H(0)为实数 ，H(z)可表示为(5.4.5) 4.快速卷积结构 如果， 的长为N1 ，h（n）的长为N2。 将 补L-N1个零值点，h（n）补L-N2零值点， 只要L N1+ N2-1,就有由卷积定理得所以有这样，就可以得到FIRDF的快速卷积结构这里的DFT和IDFT均可以利用FFT算法。h(n)L点 DFTL点 DFTX(k)H(k)Y(k)L点 IDFT5.5 状态变量分析法t状态方程和输出方程状态变量分析法有

12、两个基本方程, 即 状态方程和输出方程。状态方程把系统内 部一些称为状态变量的节点变量和输入联 系起来；而输出方程则把输出信号和那些 状态变量联系起来。 图5.5.1是二阶网络基本信号流图，有两个延时支路， 因此建立两个状态变量w1(n)和w2(n)。下面建立流图中 其它节点w2和输出y(n)与状态变量之间的关系。(5.5.1) (5.5.2) (5.5.3) 将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：(5.5.4) 图5.5.1 二阶网络基本信号流图 图5.5.2示出更为一般的二阶网络基本 信号流图，两个延时支路输出节点定为 状态变量w1(n)和w2(n)。按照信号流图 写

13、出以下方程： 图5.5.2 一般二阶网络基本信号流图 将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：(5.5.6)(5.5.7)再用矩阵符号表示： (5.5.8)(5.5.9) 式(5.5.8)和式(5.5.9)分别称为图5.5.2二阶网络的状态 方程和输出方程。如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号： x1(n),x2(n),xM(n)，L个输出信号y1(n),y2(n),， yL(n)，则状态方程和输出方程分别为 (5.5.10)(5.5.11) 式中图5.5.3 状态变量分析法例5.5.1 建立图5.5.4流图的状态方程和输出方程。 图5.5.4 例5.5.1图信号流图

14、中有两个延时支路，分别建立两个状态变量 w1(n)和w2(n)(如图5.5.4所示)，然后列出延时支路输入 端节点方程如下： 将上式写成矩阵方程： (5.5.12) 输出信号y(n)的方程推导如下： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)将上面w1(n+1)的方程代入上式： y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)例5.5.2 直接写出图5.5.4信号流图的 A、B、C和D参数 矩阵。解 要注意：从wi(n)到输出节点可能不止一条通路， 要把所

15、有通路增益加起来，即d表示从输入节点到输出节点的通路增益，这 里d=d0，最后得到四个参数矩阵为例5.5.3 已知系统函数H(z)为 (1)画出H(z)的级联型网络结构：图5.5.5 例5.5.3图 (2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程：在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如图5.5.5所示)。写出状态变量 w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n)w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)- 0.81w3(n)=-1.5w1(n)+0.9w2(n)- 0.81w3(n)+2x(n)w3(n+1)=w2(n)将以上三个方程写成矩阵方程：输出方程为 y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n) 将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到： y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n) 将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。例5.5.4 已知FIR滤波网络系统函数H(z)为 画出其直接型结构及写出状态方程和输出方程 。解:画出直接型结构如图5.5.6所示，在延时支路输出端 建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根据参数矩阵中 各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下：y(n)=a1 a2 a3w1(n) w2