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1、第五章 控制系统的李雅普诺夫(Lyapunov) 稳定性分析Modern Control Theory2 李雅普诺夫意义下的稳定性 v 平衡状态 v 稳定、渐近稳定、大范围稳定、不稳定的定义 李雅普诺夫稳定性理论 李雅普诺夫第一法v 线性系统的稳定判据 v 非线性系统的稳定判据 李雅普诺夫第二法 v 预备知识 v 几个稳定判据 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 v李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用本章主要内容3引言v 稳定性： 表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡 状态，而在扰动消失后，系统本身仍有能 力恢复到平衡状态的一种“顽性”，属于 系统的基本结构特性，而与输入作用无关 。4v不同的稳定性
2、概念： （1）李雅普诺夫意义下的稳定性内部稳定性； （2）输入输出稳定性外部稳定性 v研究的目的和意义： v稳定性是一个自动控制系统正常工作的首要、 必要条件，是一个重要特征。 v要求： v在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破 ，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡 状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。引言5v经典控制理论判别稳定性的方法：v劳斯判据 奈魁斯特判据 对数频率判据 根轨迹法适用范围：线性定常系统，不适用于非 线性和时变系统。v描述函数法：又称谐波平衡法，只适用于非 线性程度较低的系统。 v相平面法：只适合于一阶、二阶非线性系统 。引言6v俄国学者李雅普诺夫 Lyapunov
3、 （18571918） v1892年在博士论文中提出稳定 性理论-不仅适用于单变量线性系统 ，还适用于多变量、非线性、 时变系统，是确定系统稳定性 的更一般性理论。 v1907（15年后）出版了法文版 v1992（100年后）出版了英文 版 v当今任何一本控制期刊都有李 雅普诺夫的名字。引言7Lyapunov稳 定性方法 主要内容：通过求解特征方程的特征值，利用其性质判断系统的稳定性（间接法）不求解微分方程，而利用经验和 技巧构造能量函数-李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性（直接法 ）其基本思路和分析方法与经典理论一致特别适用于非线性系统和时变系统 （因其状态方程求解困难）对任意阶线性或非线性、
4、 定常或时变系统的稳定性 分析均适用的一般性方法引言82、初态： 的解为初态5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性一、几个基本概念其解表示为 ：1、自治系统：不受外部影响即没有输入作用的 一类动态系统。其状态方程描述为：只需考虑自治系统（因为 稳定性是系统在自由运动 下的特性）： 表示始于初态x0的一个运 动或一条状态轨迹95.1 李雅普诺夫意义下的稳定性3、平衡状态n维状态 向量变量 和t的n维向量函数若对所有t，总存在 ，则称 为系统的平衡状态或平衡点。 注意： 1）如果系统是线性定常的，即： ，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态即原点；对系统系统能维持在某 状态不再变化105.1
5、 李雅普诺夫意义下的稳定性2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在 ） 当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。无穷多个三个平衡 状态如：115.1 李雅普诺夫意义下的稳定性3）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定；而非线性系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定 ，而不是整个系统稳定-可见，稳定性问题是相 对于平衡状态而言的。4）线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数， 而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关；但非线性系统的稳定性出了与系统的结构和参数 有关外，还与初始条件及外界扰动的大小有关。125）孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的领域
6、内不存 别的平衡状态，即称为孤立的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。 因此，仅仅需要讨论系统在 这个平衡 状态处的稳定性即可。-“原点稳定性问题”极大简化了研究 ，又不失一般性，是Lyapunov的重要贡献。5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性134、状态向量 x 的范数在n维状态空间，向量x的长度称为向量x的范数 ，表示为：状态向量 到平衡点 的范数：当范数 限制在某一范围之内时， 可以表示为 ,且具有明确的几何意义 。用此概念来分析系统的稳定性。5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性欧几里得范数145.1 李雅普诺夫意义下的稳定性二、稳定性的几个定
7、义表示状态矢量 与平衡状态 的距离 点集表示以 为中心 为半径的超 球体（球域）向量的2范数或 欧几里得范数 1、预备知识当 很小时，称 为 的邻域 。155.1 李雅普诺夫意义下的稳定性表明齐次方程 由初态 或短暂 扰动所引起的自由响应是有界的 16设系统 如果对每个实数 都对应存在另一个 实数 ，使得满足的任意初始态 出发的运动轨迹，在 都满足：5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性向量范数(表示 空间距离) 17则称平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定， 常简称为稳定。5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性注意：通常实数 与 有关，一般情况下也与 有关 若 与 无关，
8、则称这种平衡状态是一致稳定的。时变： 与 有关 定常系统： 与 无关， 是一致稳定的。18平衡状态即：如果对应于每一个 ，存在一个 ，使得当t趋于 无穷时，始于 的轨迹不脱离 ，则系统的平衡 状态称为在Lyapunov意义下稳定。 状态轨迹5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性李氏意义下稳定性的几何表示状态响应有界195.1 李雅普诺夫意义下的稳定性3、渐近稳定1）渐近稳定必然是Lyapunov意义下的稳定2） 3） 一致渐近稳定如果平衡状态 是稳定的，并且始于域 的任一条轨迹当时间t趋于无穷时，都不脱离 ， 且收敛于 ，则称系统的平衡状态 为渐近稳定的，其中球域 被称为平衡状态 的吸引域。 20平
9、衡状态状态轨迹5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性渐近稳定性的几何表示状态轨迹具 有：有界性 和渐近性说明： 渐近稳定性表明系统能 完全消除扰动的影响； 但，只是一个局部概念 ，依赖系统的平衡状态 。215.1 李雅普诺夫意义下的稳定性对系统任意的状态，如果由该状态出发的状态轨 迹都保持渐近稳定性，即随时间推移最终都收敛到 平衡状态 ，则系统称为大范围渐近稳定。或者说，如果系统的平衡状态 的渐近稳定的初始条件扩大为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态 为大范围渐近稳定的。4、大范围(全局)渐近稳定225.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 当 与 无关 一致大范围渐近稳定。 必要条件：在整个状态空间中只
10、有一个平 衡状态 初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性。即：对 都有23如果对于某个实数 和任一个实数 ，不管这两个实数多么小，在 内总存在一个状态 ，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开 ，那么平衡状态 称为不稳定的。 5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性5、不稳定性24线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定 。非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在 局 部发散的轨 迹。5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性状态轨迹不稳定性的几何表示平衡状态25几点说明： 1)、 对于线性系统（严格）：渐近稳定等价 于大范围渐近稳定 (线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。 2)、但对于非线性系统：只能在小范围一
11、致 稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛 或 其附近。 3)、稳定含义之间的区别5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性经典控制理论(线 性系统）不稳定 (Re(s)0)临界情况 (Re(s)=0)稳定 (Re(s)0)Lyapunov意义下不稳定稳定渐近稳定264)、不同的稳定性概念1）外部稳定性：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出 是有界的，则称该系统是外部稳定的。外部稳定性也称为有界输入有界输出BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定性。5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性272）内部稳定性（或称状态稳定性）：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收 敛性，而
12、与输入作用无关。系统的稳定性都是相对具体的某个平衡状态而言的。5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫稳定性问题就是研究系统在其平衡状态附 近自由运动的行为特征，指的正是内部稳定性。4)、不同的稳定性概念285.2.1 李雅普诺夫第一法（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：1） 线性定常系统渐近稳定的充要条件：即系统矩阵A的全部特征值都具有负实部。5.2 李雅普诺夫稳定性理论292）线性定常系统 BIBO 稳定的充要条件：传递函数 的所有极点均 位于S左半平面。5.2 李雅普诺夫稳定性理论注意！： 由于所有极点都是A的特征值，所以渐近稳 定的系
13、统，必然也是输入输出稳定的。 但是， 由于不是A的所有特征值都是传函的极点（ G(s)中可能存在零极点对消现象），所以输入输出 稳定的系统，不一定具有渐近稳定性。305.2 李雅普诺夫稳定性理论例5.1、试分析如下所示系统的渐近稳定和BIBO稳定 。解: 1、故系统不是渐近稳定的。2 、闭环极点 s=-3 ，位于s 平面左半部分，所以系统为 输入输出稳定。结论： BIBO稳定 渐近稳定。31n非线性系统的稳定性分析：假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级 数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系 统的平衡状态处的稳定性。设非线性系统状态方程：在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于是：-非线性
14、函数5.2 李雅普诺夫稳定性理论32其中：-级数展开式中二阶及以上各项之和5.2 李雅普诺夫稳定性理论33 上式为向量函数的雅可比矩阵。若忽略高阶项则线性化状态方程为：5.2 李雅普诺夫稳定性理论一次近似式34结论(李雅普诺夫第一法基本内容)：n若 ，则非线 性系统在 处是渐近稳定的，与无关。n若 则系统的平衡状态总是不稳定的。n若 ，则稳定性与 有关 ，即不能由其一次近似式来表征。 5.2 李雅普诺夫稳定性理论35一、李雅普诺夫第二法简介：李氏第二法称为直接法，建立在用能量观点分 析稳定性的基础上 。若系统的平衡状态是渐近稳定，则系统激励后 其存储的能量将随着时间的推移而衰减，当趋于平衡状态时，其能量达到最小值。反之，若系统的平衡状态是不稳定的，则系统 将不断从外界吸收能量，其存储的能量将越来越大 。5.2 李雅普诺夫稳定性理论5.2.2 李雅普诺夫第二法365.2 李雅普诺夫稳定性理论二、李雅普诺夫函数-虚构的能量函数： 定义在状态空间上，满足李雅普诺夫定理的，n 维状态向量和时间t的正定标量函数，可用V(x,t)
