《2013届高考数学(理)一轮复习课件：11.2排列与组合(人教A版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013届高考数学(理)一轮复习课件：11.2排列与组合(人教A版)（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 排列与组合三年9考 高考指数:1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的应用是考查重点；2.常与其他知识交汇命题，考查分类讨论思想；3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中和概率相结合进行考查.1.排列与排列数公式(1)排列与排列数：(2)排列数公式：=_=_.(3)排列数的性质： =_;0!=_.顺序 个数n(n-1)(n-2)(n-m+1)n!1【即时应用】(1)思考：排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数.(2)设x,m
2、N*，且m19x,则(x-m)(x-m-1)(x-19)用排列符号可表示为_.【解析】由排列数公式的特征，下标是“连乘数”最大数x-m，上标是“连乘数”的个数，即(x-m)-(x-19)+1=20-m.答案：(3)从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有_种.【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有 =186(种).答案：186(4)一条铁路原有m个车站，为了适应客运需求新增加了2个车站，则客运车票增加了58种，那么原有车站_个.【解析】根据题意得： =58,即(m+2)(m+1)-m(m-1)=58,即m=14.答
3、案：142.组合与组合数公式(1)组合与组合数：(2)组合数公式：=_=_.(3)组合数的性质： =_; =_; =_.合成一组个数1【即时应用】(1)若 则x=_.(2)某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门课程由于上课时间相同，所以至多只能选一门.学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是_.(3)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为_.【解析】(1)由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.(2)分两类：第一类A、B、C三门课程都不选，有 =35种方案；第二类A、B、C三门课程中选一
4、门，剩余7门课程中选两门，有 =63种方案.故共有35+63=98种方案.(3)方法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为=24+16=14.方法二：从4男2女中选4人共有 种选法，4名都是男生的选法有 种，故至少有1名女生的选派方案种数为 =15-1=14.答案：(1)7或9 (2)98 (3)143.排列问题与组合问题的区别区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是_问题，否则是_问题.排列组合【即时应用】(1)由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，三位数字之
5、和为奇数的共有_个.(用数字作答)(2)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_种不同的方法.(用数字作答)(3)某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是_.(用数字作答)【解析】(1)根据题意，所选的三位数字有两种情况：3个数字都是奇数，有 种方法；3个数字中有一个是奇数，有 种，故共有 24个.(2)由题意，可知因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有 =1 260种.(3)根据题意，共有 20种不同排法.答案：(1)2
6、4 (2)1 260 (3)20排列数、组合数公式的应用【方法点睛】排列数、组合数公式的特点及适用范围(1)排列数公式右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数.公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；(2)组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，乘积形式分母为m！，分子左边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数，多用于数字计算.阶乘形式多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证.【例1】(1)组合数 (nr1,n、rN*)恒等于( )(A) (B)(C) (D)(2)若 则x=_.(3)
7、 =_.【解题指南】(1)(2)利用排列数和组合数的公式及意义求解，(3)中注意n的取值范围.【规范解答】(1)选D. (2)原方程即也就是化简得x2-21x+104=0,解得x=8或x=13,又因为2x9,且xN*,所以x=8.答案：8(3)若 有意义，则 解得2n4.当n=2时，有当n=3时，有当n=4时，有答案：4或7或11【互动探究】在本例的(2)中，若将条件改为 求x的取值范围.【解析】原不等式即也就是化简得x2-21x+1040.解得x8或x13,又因为2x9,且xN*,所以x=2,3,4,5,6，7.【反思感悟】1.在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注
8、意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解.2.应注意 或x+y=n两种情况.【变式备选】计算 的值.【解析】排列问题的应用【方法点睛】解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问
9、题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.【例2】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须相邻；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.【解题指南】(1)无限制条件的排列问题直接应用公式；(2)先排前排再排后排；(3)“在”与“不在”的问题，采用“优先法”；(4)(5)(6)“邻”与“不邻”的问题，采用“捆绑法”或“插空法”.【规范解答】(1)从7个人中选5个人来排列，
10、有=76543=2 520种.(2)分两步完成，先选3人排在前排，有 种方法，余下4人排在后排，有 种方法，故共有 =5 040种.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.(3)(优先法)方法一：甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有 种方法，故共有5 =3 600种.方法二：排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有 种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有 种方法，共有 =3 600种.(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有 种方法，再将4名女生进行全排列，也有 种方法，故共有 =576种.(5)(插空法)男生不
11、相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有 种方法，故共有 =1 440种.(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有 种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有 种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方法，故共有 =720种.【互动探究】本例中第(5)问改为“甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻”，其他条件不变，应如何求解？【解析】先排甲、乙、丙以外的4人，有 种方法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 种方法，最后把排好的甲、乙视为一个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及其首尾的5个
12、空位，有 种方法.所以，总共有 =960种.【反思感悟】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可，但要看清是全排列还是选排列问题；有限制条件的排列问题，用直接法或间接法.【变式备选】1.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有_个(用数字作答)【解析】可以分情况讨论：若末位数字为0，则1、2为一组，且可以交换位置，3、4各为1个数字，共可以组成2 =12个五位数；若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2 =4个五位数；若末位数字为4，则1、2为一组，且可以交换位置，3、0各为1个数字，且0不是首位数字，则有2(2 )=8
13、个五位数，所以全部合理的五位数共有24个.答案：24 2.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有_种不同的播放方式(结果用数值表示).【解析】分两步：第一步，首尾必须播放公益广告的有 种；第二步，中间4个为不同的商业广告有 种，所以不同的播放方式共有 48种.答案：48组合问题的应用【方法点睛】组合问题的常见题型(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨
14、防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？【解题指南】(1)(2)是“在”与“不在”的问题，采用“直接法”； (3)可分两步；(4)(5)是“至少”、“至多”型问题，采用“间接法” .【规范解答】(1)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有 36种选法.(
15、2)由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有126种选法.(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有 种选法，再从余下的9人中选4人，有 种选法，所以共有 378种选法.(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有 种，再减去A，B，C三人都不入选的情况 种，共有 666种选法.(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有 种，再减去A，B，C三人都入选的情况有 种，所以共有 756种选法.【反思感悟】1.对“组合问题”恰当地分类计算，是解组合题的常用方法；2.解题时既要灵活选用直接法或间接法，又要常常结合两种计数原理.【变式训练】1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )(A)6种 (B)12种 (C)30种 (D)36种【解析】选C.从
