第6章结构的位移计算

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1、 1. 领会变形体虚功原理和互等定理。2. 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。3. 熟练掌握荷载产生的位移计算。4. 熟练掌握图乘法求位移。5. 了解温度改变、支座移动引起的位移计算。第6章 结构的位移计算目的要求6-1 概 述1结构的位移（1）结构的位移结构在外因的影响下将产生变形，由于变形使结构上各截面的位置将发生变化，这种位置的变化称为位移。（2）位移的分类及表示位移可分为线位移及角位移f，为计算方便常把线位移分解为水平及竖直两个方向，分别用Cx(或CH)、Cy(或CV)表示，如图6- 1所示。角位移用fC(或C)表示如图6-2所示。位移的表示符号右下方有两个脚标，其物理意义为：第

2、一个脚标表示发生位移的截面，第 二个脚标表示位移的方向(或引起位移的原因)。位移又可分为绝对位移（如图6-1所示）及相对位移，如图6-2中C、D两截面的水平线位移Cx、Dx之和CD=Cx+Dx表示C、D两截面在水平方向上的相对线位移，又如fAB=fA+fB表示A、B两截面的相对转角。无论是绝对位移或相对位移，今后统称为广义位移，可用表示。 图6-1 图6-22计算结构位移的目的（1）验算结构的刚度结构在外因影响下如果变形太大，同样会影响结构的正常使 用，为此在各种结构的设计规范中，对结构的刚度都有一定的要 求。（2）结构在施工过程中需要计算位移结构在施工过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，

3、而 这种变形与结构正常使用时完全不同。如图6-3为悬臂拼装架梁 的示意图。在正常使用时，该简支梁的最大挠度在跨中，而在施 工时悬臂端B处的挠度最大，该挠度值也成为在结构设计时的控 制因素之一。 图6-3 （3）为超静定结构的计算打基础在超静定结构的计算中，除考虑平衡条件外，还必须考虑 变形协调条件，因此计算结构的位移是解超静定结构的一个 重要手段。（4）结构的动力计算和稳定计算中也需要计算结构的移。3计算位移时的有关假定（1） 结构的材料服从虎克定理。即应力与应变呈线性关系。（2） 结构的变形很小，可以认为结构变形前后的几何尺寸 相同，称为弹性小变形问题。（3） 受弯杆件不考虑轴向变形的影响。

4、上述假定可使位移计算得到简化，其计算精度可以满足工 程要求。满足上述假定的体系其位移与荷载呈线性关系，称 为线性变形体。若位移与荷载之间不呈线性关系的体系称为 非线性变形体。本书只考虑线性变形体。4引起结构产生位移的原因除荷载外，还有温度变化、支 座移动、制造误差、混凝土收缩等因素。 1虚功和虚功原理（1）虚功力在其位移上做功，当力与位移彼此独立无关时，这时的 功称为虚功。（2）刚体的虚功原理理论力学中讲过刚体的虚功原理：刚体体系处于平衡的必 要和充分条件是，对于任何虚位移，所有外力所作虚功的总 和为零。（3）变形体的虚功原理对于变形体来讲，当给体系一虚位移时，除了外力(荷 载、约束反力等)在

5、虚位移上做虚功外，内力在其相应的变形 上也要做功，这个功称为变形虚功。变形体的虚功原理可表 述为：变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位 移，外力所做虚功总和等于各微段的内力在其变形上所做的 虚功总和。6-2 变形体系的虚功原理 若用W表示外力虚功，WV表示变形虚功，则上述原理 可写为 W = WV (6-1)由于力与位移的独立性，为计算方便，常把力状态与位 移状态分开画，在力状态所有的力(荷载与支座反力等)处于 平衡状态，在位移状态中，虚位移可由其它任何原因(如另 一组力系、温度变化、支座移动等)引起，但必须是约束条 件所允许的微小位移。 2变形虚功的计算在力状态取微段ds为隔离体，

6、如图6-4(c)所示，在位移状 态对应微段的变形为du、ds、df，当略去二阶微量时，ds 微段的变形虚功为dWV = FNdu+FSds+Mdf，对于整个结构则为WV= dWV= FNdu+ FSds+ Mdf (6-2)故虚功方程为： W= dWV= FNdu+ FSds+ Mdf (6-3)图6-43. 虚功原理的应用(1) 虚位移原理给定力状态，虚设位移状态，利用虚功方程来求解力状态的未知力，称为虚位移原理。(2) 虚力原理给定位移状态,虚设力状态，利用虚功方程求解位移状态中的位移，称为虚力原理。本章将根据这一原理计算 位移。在利用虚力原理时，由于力状态是虚设的，故将上节所述力状态改称

7、为“虚拟状态”，位移状态改称为“实际状态”。为了计算方便，在“虚拟状态”沿欲求“实际状态”的指定截面位移方向K加一个对应的单位力 ，如图6-5所示。根据(6-1)、(6-3)式可得式中 、 、 为单位力引起的内力(在虚拟状态)，上式移项后可得(6-5)6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 1. 单位荷载法由(6-5)式可以看出，欲求“实际状态”的某一位移如 K，则必须在“虚拟状态”加一个相应的单位力，然后利 用虚功原理求出K，故此种计算位移的方法称为单位荷载法。图6-5 2. 单位力的作法具体计算中，欲求的位移可能是角位移、相对线位移、 相对角位移，则对应的虚拟力应分别为一个单位力偶，一对

8、指向相反的单位力或一对方向相反的力偶(见图6-6)，在桁架 中由于只承受结点集中荷载，当欲求图中BC杆转角时，虚 拟力则是加在BC杆两端结点垂直于杆轴线的一对集中力 1/lBC，它们组成一个单位力偶m = 1/lBClBC = 1。图6-66-4 静定结构在荷载作用下的位移计算式(6-5)中的du、ds、d为“实际状态”中ds微段的变 形，该变形可以由荷载引起或温度变化或支座移动等原因 引起。本节先讨论荷载的影响，其它因素将在后面各节分 述。当只考虑荷载的影响时，式(6-5)可写为(a) 由材力可知：(b)式中FNP、FSP、MP为“实际状态”中荷载引起的微段内力， E为材料的弹性模量，I、A

9、分别为杆件截面的惯性矩和面 积，G为剪切弹性模量，k为截面上剪应力分布不均匀系 数，它与截面的形状有关。如矩形截面k = 6/5，圆形截面k= 32/27，工字形截面kA/Af，Af是腹板的面积。将(b)式 代入(a)式得(6-6)在计算梁和刚架时，因剪切及轴向变形的影响比弯曲变形 小得多，可以略去不计，故式(6-6)可简化为(6-7)在桁架计算中，因只有轴力一项，且每根杆EA、 、 、l均 为常数，故式(6-6)可写为(6-8) 对于组合结构，受弯杆件只计弯曲变形的影响，二力杆只 有轴向变形，则式(6-6)可写为(6-9)例6-1 试求简支梁在荷载作用下跨中C截面的竖向线位移 Cy。EI=常

10、数。见图6-7(a)。解：1.建立“虚拟状态”。欲求Cy则应在C处加一单位集中 力作为虚拟力，见图6-7(b)。2.写出 、 表达式。 设x坐标如图所示，A为坐标原点。在虚拟状态中，由单 位力引起的内力、反力均在其相应的表示符号上加一横线， AC与CB段内力表达式形式不一样，故“两种状态”中的内力 应分两段写出AC段 = ql/2x-qxx/2 (0xl/2)= x/2 (0xl/2)CB段 = ql/2x-qxx/2 (l/2xl)= x/2 -1(x-l/2) = l/2-x/2 (l/2xl) 图6-73.代入式(6-7)计算Cy。计算结果得正值说明Cy的方向与虚拟力方向一致，数据后面一

11、定要注明所求位移的实际方向。例6-2 求图6-8(a)所示圆弧曲杆B点的竖向线位By。 EI=常量，不计轴力及曲率的影响。解：1.建立虚拟状态如图6-8(c)所示。2.写出 、 表达式。取分离体分别如图6-8(b)、(d)所示。= -FRsin= Rsin, 且ds = Rd 3.代入式(6-7)计算By。 图6-8例6-3 计算图6-9(a)所示桁架下弦C结点的竖向线位移 Cy、CD及CE两杆的相对角位移C。各EA=3104kN。解: 由于桁架的杆件较多，一般多采用表格形式进行计 算。本题两种状态内力均为正对称，故表6-1中只列出一半 杆件内力。由式(6-8)得Cy = =2(9.43+6.

12、67)10-4+13.3310-4= 45.5310-4m = 45.5310-2cm()C = =6.6710-4rad(下面角度增大) ， CD杆与CE杆 夹角减小。图6-9杆件l(m)EAAD3X1040.943X10-49.43X10-400CD3X1040.943X10-4000AC43X1041.333X10-4106.67X10-400DE43X1041.333X10-4-10-113.33X10-46.67X10-4表6-16-5 图 乘 法1. 引言在梁与刚架的位移计算中，当荷载比较复杂时，积分运算十分繁琐，但在一定的条件下， 可简化为 “图乘法”进行运算。2. 图乘法的三个

13、前提条件(1)该杆段是一直杆，(2)在杆段内EI为一常数，(3)在该杆段中 或 图至少有一个是一直线图形。3公式推导设 图为曲线， 图为一直线图形。= xtan代入积分式 由合力矩定理可得 ， 用yc表示 图形心C所对应的 图上的纵距，则4乘积正负号的取法 当Ayc在基线同一侧时，Ayc取 正；二者在基线异侧时， A yc取负。整个结构进行图乘运算时，则 式(6-7)就可写为(6-10) 图6-10 例6-4 求图6-11(a)所示简支梁A 截面的转角A。设EI为常量。 解： 1.假设虚拟状态见图611(b)。2.绘 、 图。3.由于 图的面积及形心较容易 求出，故yc可取自 图，计算如 下

14、(顺时针转动)图6-115. 常见图形的面积和形心位置 进行图乘运算时，经常见到的几种图形面积和形心位 置如图6-12所示。其中标准抛物线是指该曲线顶点的切线 必须与基线平行。图6-126两个梯形图形之间的图乘在运算时还常遇到两个梯形图形进行图乘，在此推导 一个便于记忆的图乘公式，由图6-13(a) 当a、b、c、d在基线同侧时乘积为正，反之为负。如 图6-13(b)： 图6-13 图6-14 例6-5 求图6-14(a)所示悬臂梁B截面竖向线位移By。解： 1.假设虚拟状态如图6-14(b)所示。2.绘 、 图。3.计算By。由于AC与CB段EI值不同，故图乘时应分 段进行图乘，由第三章可知，AC段的MP图可看为一个梯 形图形A3与一个标准二次抛物线图形A2叠加而成，具体计算如下 例6-6 求图6-15(a)所示组合结构A截面的竖向线位Ay。已知E=2.1104kN/m2，A=12cm2，I=3600cm4。解：1.假设虚拟状态如图6-15(c)所示。2.绘MP 、 图，计算DE杆FNP 、 值，见图6-15(b)-(d)。3.计算Ay。 图6-156-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构在温度变化的影响下，结构各截面均不产生内力，只产生变形。下面将用单位荷载法计算温度变化影响