《人教版高中数学1.3.2 第2课时函数奇偶性的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学1.3.2 第2课时函数奇偶性的应用（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 函数奇偶性的应用类型 一 根据函数的奇偶性求函数解析式 【典型例题】1.f(x)为R上的奇函数，且当x(-,0)时，f(x)=x(x-1)，则当x(0,+)时，f(x)=_.2.已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)g(x)求f(x)，g(x).【解题探究】1.对于题1，应如何设自变量x？2.题2中，如何应用“f(x)为偶函数，g(x)为奇函数”这一条件？探究提示：1.应“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.2.应用函数奇偶性，需出现f(-x)，g(-x)，故用-x代替原式中的x，列出方程组，解关于f(x)与g(x)的方程组.【解析】1.当x(0,+
2、)时，-x(-,0)，f(-x)=-x(-x-1).又f(x)为R上的奇函数，所以x(0,+)时，-f(x)=-x(-x-1)，即f(x)=-x(x+1).答案：-x(x+1)2.由f(x)g(x) 把x换成-x，得f(-x)g(-x)f(x)为偶函数，f(-x)f(x).又g(x)为奇函数，g(-x)-g(x)，f(x)g(x) 由得【拓展提升】根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.(2)转化代入已知区间的解析式.(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x).【变式训练】函数y=f(x)是(-,+)上的
3、偶函数，当x0时f(x)=x2-2x-3，求函数y=f(x)的解析式.【解题指南】设x0，则-x0，利用偶函数的定义，f(-x)=f(x)进行转化.【解析】令x0，则-x0,故f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3.又f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，故f(x)=x2+2x-3，类型 二 函数的奇偶性和单调性的综合应用 【典型例题】1.若f(x)是R上的偶函数，且在0，+)上是增函数，则下列各式成立的是( )A.f(-2)f(0)f(1) B.f(-2)f(1)f(0)C.f(1)f(0)f(-2) D.f(0)f(-2)f(1)2.设函数f(x)在R上是偶函数，在区
4、间(-，0)上递增，且f(2a2+a+1)f(2a2-2a+3)，求a的取值范围.【解题探究】1.题1中如何将f(-2)转化为自变量在0，+)上与之相等的函数值？2.偶函数在两个对称区间上的单调性有什么关系？解决题2的关键点是什么？探究提示：1.利用函数的奇偶性，因为f(x)在R上是偶函数，所以f(-2)=f(2).2.偶函数在两个对称区间上的单调性相反，即若一个区间是增函数，则相应对称区间上为减函数.解决本题的关键是去掉“f”，转化为具体不等式求解.【解析】1.选B.f(x)是R上的偶函数，所以f(-2)=f(2).又f(x)在0，+)上是增函数，故f(0)f(1)f(2)，即f(-2)f(
5、1)f(0).2.由f(x)在R上是偶函数，在区间(，0)上递增，可知f(x)在(0，)上递减.2a2+a+1=2(a+ )2+ 0，2a2-2a+3=2(a- )2+ 0，且f(2a2+a+1)f(2a2-2a+3)，2a2+a+12a2-2a+3，即3a-20，解得a【互动探究】若题2中“偶函数”改为“奇函数”，则结果如何？【解析】若f(x)为R上的奇函数，在区间(-，0)上递增，则f(x)在(0，+)上递增，又f(2a2+a+1)f(2a2-2a+3)，2a2+a+12a2-2a+3，即3a-20，解得a【拓展提升】1.函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数,且f(x)在a,b
6、上是单调函数,则f(x)在-b,-a上也为单调函数,且具有相同的单调性.(2)若f(x)是偶函数,且f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)在-b,-a上也为单调函数,且具有相反的单调性.2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解.(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响. 【变式训练】若偶函数f(x)在区间3，7上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间-7，-3上是( )
7、A.增函数且最小值是5B.增函数且最大值是5C.减函数且最大值是5D.减函数且最小值是5【解析】选C.偶函数图象关于y轴对称，f(x)在区间3，7上是增函数，则在区间-7，-3上是减函数，且最大值为5.【规范解答】函数奇偶性与单调性的综合应用【典例】 【条件分析】【规范解答】(1)令x1=x2=1得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0. 3分(2)令x1=x2=1,则f(-1)=0， 4分令x1=1,x2=x，f(x)=f(x)，又定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)为偶函数. 7分(3)f(4)=1,又f(x1x2)=f(x1)+f(x2),f(4)+f(4)=f(44)=f(16
8、),f(16)+f(4)=f(164)=f(64),f(64)=f(4)+f(4)+f(4),f(64)=3. 8分f(3x+1)+f(6)3等价于f(-6(3x+1)3,f(|-6(3x+1)|)f(64), 10分解得 12分【失分警示】【防范措施】1.赋值法的应用抽象函数的求值与性质讨论，往往需要恰当地赋值，此时要明确利用哪些式子说明问题，如本题中判断函数奇偶性，看f(-x)与f(x)的关系，关键是出现f(-x)与f(x)之后，不要出现多余变量.2.偶函数的一个重要性质根据偶函数的定义，可得f(x)=f(|x|)，从而把自变量都集中在区间(0，+)上，应用单调性时，就可以避免分自变量在不
9、同区间内的繁琐讨论，把f(-6(3x+1)写成f(|-6(3x+1)|)，避免对-6(3x+1)的符号讨论.【类题试解】已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=-x2+ax.(1)当a=-2时，求函数f(x)的解析式.(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，求a的范围；若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)0,又因为f(x)为奇函数，且a=-2,所以f(x)=-f(-x)=x2-2x，所以(2)当a0时，对称轴x= 0,所以f(x)=-x2+ax在0,+)上单调递减,由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以f(x)在(-,0)上单调递减,又在(-,0)上f
10、(x)0,在(0,+)上f(x)0时，f(x)在(0， )上单调递增，在( +)上单调递减，不合题意.所以函数f(x)为单调减函数时，a的范围为a0.f(m-1)+f(m2+t)-t-m2恒成立,t-m2-m+1=-(m+ )2+ 恒成立,t1.若函数f(x)x3，xR，则函数y=f(-x)在其定义域上是( )A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数【解析】选B.f(-x)=-x3为奇函数，设x1,x2R，且x1x2,则-x1-x2，f(-x1)-f(-x2)f(-x1)f(-x2)，f(-x)为减函数.2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时
11、，f(x)x2-2x，则f(x)在R上的表达式是( )A.y=x(x-2) B.y=x(|x|+2)C.y=|x|(x-2) D.y=x(|x|-2)【解析】选D.由x0，f(x)x2-2x，f(x)是定义在R上的奇函数得：当x0时，-x0，f(x)-f(-x)-(x2+2x)， 即f(x)x(|x|-2).3.定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得( )A.ab B.abC.|a|b| D.0ab或ab0【解析】选C.对于定义域为R的偶函数，若x0，则f(|x|)f(x)；若x0，则f(|x|)f(-x)f(x).所以，定义域为R的偶函数f(x)对于任意
12、xR，有f(|x|)f(x)于是由f(a)f(b)，可得f(|a|)f(|b|)而|a|0，再由f(x)在0，)上是增函数可得|a|b|，故选C.4.函数f(x)=x3+ax，f(1)=3，则f(-1)_.【解析】显然f(x)是奇函数，f(-1)-f(1)-3.答案：-35.若函数f(x)(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是_.【解析】利用函数f(x)是偶函数，则k-1=0，k=1，所以f(x)=-x2+3，其单调递减区间为0，)答案：0，)6.f(x)是定义在(，5,5，)上的奇函数，且f(x)在5，)上单调递减，试判断f(x)在(，5上的单调性，并用定义给予证明【解析】f(x)在(-，-5上单调递减.任取x1x25,因f(x)是奇函数且在5，)上单调递减，所以f(x1)f(x2)，即f(x)在(-,-5上是单调减函数.
