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1、1第第 1919 课时课时 万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用考点 1 开普勒行星运动定律开普勒行星运动三大定律例 1 (2013江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析 本题考查开普勒行星运动定律，意在考查考生对开普勒三大定律的理解。由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速
2、度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B 错误；由开普勒第三定律可知，k，得，C 正确；由于火星R3 火 T2 火R3 木 T2 木T2 火 T2 木R3 火 R3 木2和木星在不同的轨道上，因此 D 错误。答案 C在利用开普勒第三定律解题时，应注意k中的k是一个与行星质量无关的常量，a3 T2但不是恒量。在不同的星系中，k值不相同，k值是由中心天体决定的。在以后的计算中，我们都把行星的轨道近似看成圆，把卫星的运行轨道也近似看成圆，这样表达式k中R3 T2的R则是轨道圆的半径。1(2016全国卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动
3、的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案 B解析 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，A 错误、B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，C 错误；牛顿发现了万有引力定律，D 错误。2(2017全国卷)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(
4、 )A从P到M所用的时间等于T0 4B从Q到N阶段，机械能逐渐变大C从P到Q阶段，速率逐渐变小D从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案 CD解析 由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，3A 错误；从Q到N阶段，机械能守恒，B 错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小，C 正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D 正确。3(人教版必修 2 P36T4 改编)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在 1682 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴
5、等于地球公转半径的 18 倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是 1986 年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，该星下次飞经地球是哪一年？答案 2062 年解析 将地球的公转轨道看成圆轨道，其周期T11 年，半径为r1；设哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为a2，则根据开普勒第三定律k，有：。因为a218r1，所以可知哈雷彗星的周期a3 T2r3 1 T2 1a3 2 T2 2为T276.4 年，则下次为 2062 年。a3 2T1r3 1考点 2 万有引力定律的理解和应用1万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都
6、相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与两物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。(2)表达式：FG，其中G为引力常量，G6.671011 Nm2/kg2。卡文迪m1m2 r2许第一个通过实验精确测量出G值。(3)适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。质量分布均匀的球体可视为质点，其中r是两球心间的距离。对于一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力，r为球心到质点的距离。2万有引力理论的主要成就：(1)发现未知天体，(2)计算天体质量。例 2 理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物
7、体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图正确的是( )4解析 根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的球内离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的球体对质点的万有引力，所以FGGx。当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，受到地球的万4x33mx24m 3有引力，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力FG。Mm x2当xR时，F与x成正比，当xR后，F与x的平方成反比。所以
8、A 正确。答案 A(1)在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到球壳万有引力的合力为零。(2)在匀质球体内部距球心r外，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体的引力。(3)万有引力定律的表达式FG适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。当物m1m2 r2体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这是“分割求和”的思想方法，此处的“和”是矢量和。1对于万有引力定律的数学表达式FG，下列说法中正确的是( )m1m2 r2A牛顿发现了万有引力定律， 并第一个通过实验精确测量出引力常量G的大小Br趋近于 0 时，万有引力趋于无穷大
9、Cm1、m2受到的万有引力总是大小相等Dm1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力答案 C解析 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许第一个通过实验精确测量出引力常量G的5大小，A 错误；万有引力定律的表达式FG，适用于两个质点之间的计算。当r0 时，m1m2 r2两个物体都不能看成质点，上式不再成立，B 错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，作用在两个物体上，C 正确、D 错误。2(人教版必修 2 P41T3 改编)两艘轮船，质量都是 1.0104 t，相距 10 km 它们之间的引力是多大，这个力与轮船所受重力的比值是多少？(g取值为 1
10、0 N/kg)答案 6.67105 N 6.671013解析 轮船之间的引力FG6.671011m1m2 r2 N6.67105 N1.0 107 1.0 10710 1032轮船重力Gmg1.0108 N引力与重力的比值 6.671013。F G3如图所示，在半径为R的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为R且与铅球相切，并通过铅球的球心。在未挖出空穴前铅球质量为M。求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力。答案 GMm7d28dR2R28d2(dR2)2解析 可以用“补偿法”进行等效计算。设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体质量为M，
11、与小球间的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F，则有F1FF2。设挖出空穴前铅球的体积为V，挖出的球形实体体积为V，则MMM ，根据万有引力定律可得F1G，F2GV V4 3(R 2)3 4 3R3M 8Mm d2GMm(dR 2)2，故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力FF1F2GGMm8(dR2)2Mm d2Mm8(dR2)26。GMm7d28dR2R28d2(dR2)2考点 3 计算天体质量与密度1万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题。天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律。行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力
12、。运用万有引力定律不仅可以计算太阳和地球的质量，还可以计算其他天体的质量，根据不同的已知条件可以选用不同的公式计算中心天体的质量。2根据质量与密度的关系M R3可知，在已知天体半径R和天体质量M的条4 3件下，可以计算天体的密度。3下表列出了我们常见的计算天体质量和密度的方法7例 3 (2013大纲卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为 127 min。已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，月球半径约为 1.74103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( )A8.11010 kg B7.41013 kgC5.41
13、019 kg D7.41022 kg解析 由Gmr得M，又rR月h，代入数据得月球质量Mm r242 T242r3 GT2M7.41022 kg，D 正确。答案 D1天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。2自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星(或行星)绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。(人教版必修 2 P43T3 改编)经测定月地距离为 3.84108 m，月球绕地球运动的周期为 2.3610
14、6 s，试计算地球质量。(G6.671011 Nm2/kg2)答案 6.011024 kg解析 月球与地球间的万有引力提供月球绕地球运动的向心力8FG，Fm2rM地m r2(2 T)Gm2r，M地6.011024 kg。M地m r2(2 T)42r3 GT2考点 4 天体表面的重力加速度问题1物体的重力是地球对物体万有引力的一个分力在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力G和随地球自转而做圆周运动的向心力F，如图所示。其中FG，而Fm2r。除赤道和两极点外，Mm R2重力与万有引力的大小、方向皆不同。(1)物体在赤道上时，F、G、F三力同向，此时F达最大值，重力达最小值，则：
15、GminFFGm2R。Mm R2(2)物体在两极的极点时，F0，FG，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为GmaxG。Mm R22不考虑地球自转时，重力等于万有引力(1)设在地球表面附近的重力加速度为g，则mgG，得g。Mm R2GM R2(2)设在地球上空距离地面高度为h处的重力加速度为g，则mg，得gGMmRh2GMRh2所以。g gRh2R29例 4 设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看成质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2。假设第三次在F0 2赤道平面内深度为 的隧道底部，示数为F3；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀R 2速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是( )AF3、F4 BF3、F40F0 4F0 4F0 4CF3、F40 DF34F0、F415F0 4F0 4解析 设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力：F1F0。GMm R2在赤道处，弹簧测力计的读数为F2，则：F0 2Fn2F1F2F0m2R。1 2由于球体的体积
