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1、1第十一章第十一章 统计与概率统计与概率第一节抽样方法、用样本估计总体本节主要包括 2 个知识点：1.抽样方法与统计图表；2.样本的数字特征.突破点(一) 抽样方法与统计图表 基础联通抓主干知识的“源”与“流”1简单随机抽样(1)定义：一般地，从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(nN)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样(2)最常用的方法：抽签法和随机数表法2系统抽样将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样3分层抽样一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映
2、总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层” 4三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样从总体中逐个抽取是后两种方法的基础总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样元素个数很多且均衡的总体抽样分层抽样均为不放回抽样，且抽样过程中每个个体被抽取的机会相等将总体分成几层，分层按比例进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成5.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组
3、数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图6频率分布折线图和总体密度曲线2(1)频率分布折线图：连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线7茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”抽样方法类型(一) 简单随机抽样1抽签法的步骤第一步，将总体中的N个个体编号；第二步，将这N
4、个号码写在形状、大小相同的号签上；第三步，将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；第四步，从箱中每次抽取 1 个号签，连续抽取k次；第五步，将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出2随机数表法的步骤第一步，将个体编号；第二步，在随机数表中任选一个数开始；第三步，从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码例 1 (1)以下抽样方法中是简单随机抽样的序号是_在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 2709 的为三等奖；某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重量是否合
5、格；某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解对学校机构改革的意见；用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验(2)总体由编号为 01，02，19,20 的 20 个个体组成利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为_78166572080263140702436997280198332049234493582003623486969387481解析 (1)不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；不是简单随机抽样，因为总体的个体有明
6、显的层次；是简单随机抽样(2)由题意知前 5 个个体的编号为 08,02,14,07,01.答案 (1) (2)01类型(二) 系统抽样系统抽样的步骤例 2 (1)某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840人按 1，2，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481,720的人数为_(2)湖南卫视为了解观众对我是歌手的意见，准备从 502 名现场观众中抽取 10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除_个个体，抽样间隔为_解析 (1)由系统抽样定义可知，所分组距为20，每组抽取一人，因为包含整数840 42个组，所以抽
7、取个体在区间481,720的数目为(720480)2012.(2)把 502 名观众平均分成 50 组，由于 502 除以 50 的商是 10，余数是 2，所以每组有10 名观众，还剩 2 名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从 502名观众中抽取 2 名观众，这 2 名观众不参加座谈；再将剩下的 500 名观众编号为1,2,3，500，并均匀分成 50 段，每段含10 个个体所以需剔除 2 个个体，抽样500 50间隔为 10.答案 (1)12 (2)2 10易错提醒用系统抽样法抽取样本，当 不为整数时，取k，即先从总体中用简单随机抽样的N nN n方法剔除(Nnk)个
8、个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性4类型(三) 分层抽样进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)；样本容量n 总体的个数N该层抽取的个体数 该层的个体数(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比例 3 (1)(2017江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件(2)(2018东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为357，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品
9、有 18 件，则样本容量n_.(3)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则a的值为_解析 (1)应从丙种型号的产品中抽取6018(件)300 200400300100(2)依题意得n18，解得n90，即样本容量为 90.3 357(3)由题意知，解得a30.12 451530 45153010a20答案 (1)18 (2)90 (3)30方法技巧分层抽样的解题策略(1)分
10、层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样(4)抽样比. 样本容量 总体容量各层样本数量 各层个体数量频率分布直方图和茎叶图类型(一) 频率分布直方图5例 4 (1)(2018扬州市考前调研)随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，
11、80,100)，若该校的学生总人数为 3 000，则成绩不超过 60 分的学生人数大约为_(2)某地政府调查了工薪阶层 1 000 人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的 1 000 人中抽出 100 人做电话询访，则(30,35(百元)月工资收入段应抽出_人解析 (1)由图知，成绩不超过 60 分的学生的频率为(0.0050.01)200.3，所以成绩不超过 60 分的学生人数大约为 0.33 000900.(2)月工资收入落在(30,35(百元)内的频率为 1(0.020.040.050.050.01)
12、510.850.15，所以(30,35(百元)月工资收入段应抽出 1000.1515(人)答案 (1)900 (2)15方法技巧1绘制频率分布直方图时需注意的两点(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确；(2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率频率 组距2与频率分布直方图计算有关的两个关系式(1)组距频率；频率 组距(2)频率，此关系式的变形为样本容量，样本容量频率频数 频数 样本容量频数 频率类型(二) 茎叶图1茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“
13、叶”的位置上的数据62茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等例 5 某良种培育基地正在培育一小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了 25 亩，所得亩产数据(单位：千克)如下品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,3
14、91,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出数据的茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论解 (1)画出茎叶图如图所示：(2)通过观察茎叶图可以看出：品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差方法技巧茎叶图问题的求解策略(1)由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表问题时，要充分对这个图表提供的样本数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断(2)茎叶图不能直
15、接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图数据求出样本数据的数字特征，进一步估计总体情况 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.某工厂的质检人员对生产的 100 件产品，采用随机数法抽取考点一类型一10 件检查，对 100 件产品采用下面的编号方法：1,2,3，100；001,002，100；00,01,02，99；01,02,03，100.7其中正确的序号是_解析：根据随机数法编号可知，编号位数不统一答案：2.(2018南京市高三年级学情调研)某高校甲、乙、丙、丁四个考点一类型三专业分别有 150,150,400,300 名学生为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取 40 名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为_解析：40016.40 150150400300答案：163.甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样考点一类型三的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为_解析：分层抽样中各层的抽样比相同样本中甲设备生产的有 50 件
