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1、2.4 命题逻辑推理理论n2.4.1 推理的形式结构n推理及其形式结构n推理定律n2.4.2 自然推理系统Pn自然推理系统的定义n证明方法12.4.1 推理的形式结构一、什么是推理定义2.19 设A1，A2 ， ，Ak ，B都是命题公式，若对 于每组赋值, A1A2 Ak为假, 或者当A1 A2 Ak为真时，B也为真, 则称由前提A1，A2，, Ak推 B的推理有效或推理正确, 并称B是有效的结论。2定理2.8 由前提A1, A2, , Ak 推出B 的推理正确当且仅当A1 A2 Ak B为重言式.如果把（A1 A2 Ak ） B为永真式记为：上式的含义？3二、推理的形式结构定义2.20 称（
2、A1 A2 Ak ） B为由前提 A1, A2, , Ak推结论 B 的推理的形式结构。推理的形式结构一般有以下三种：形式(1) A1 A2 Ak B形式(2) 前提: A1, A2, , Ak结论: B 形式(3) A1， A2 ， ， Ak B4 真值表法 等值演算法 主析取范式法 构造证明法判断推理是否正确的方法:真值表的方法参见P.67例2.23。5例1 判断下面推理是否正确:(1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明 天是5号. 解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为证明 用等值演算法 所以，原推理正确。6例1 (2) 若今天是1号, 则
3、明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号。解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为证明 用主析取范式法 这不是一个永真式，01是该公式成假的赋值，所以推理不正确。7三、推理定律重言蕴涵式A (AB) 附加律 (AB) A 化简律 (AB)A B 假言推理 (AB)B A 拒取式 (AB)B A 析取三段论 (AB)(BC) (AC) 假言三段论 (AB)(BC) (AC) 等价三段论 (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难8n注意：（1）推理规则中出现的A、B、C
4、 等是元语言符号；（2）直接引用而不需证明，只要说明所引用规则的名称；（3）24个永真公式每个都可以等效为2个推理规则。92.4.2 自然推理系统P自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r, pi,qi,ri, (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则10自然推理系统P(续)(7) 拒取式规则 AB B A (8) 假言三段论规则ABBC AC (4) 假言推理规则ABA B (5) 附加规则 AAB (6) 化简规则 AB A 1
5、1自然推理系统P(续)(11) 破坏性二难推理规则 ABCDBD AC (12) 合取引入规则ABAB (9) 析取三段论规则ABB A (10)构造性二难推理规则ABCDAC BD12直接证明法例2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明: 前提: pq, qr, ps, s 结论: r(pq) 证明 ps 前提引入 s 前提引入 p 拒取式 pq 前提引入 q 析取三段论 qr 前提引入 r 假言推理 r(pq) 合取 推理正确, r(pq)是有效结论13实例例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明 天不是星期一和
6、星期三. 解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，r:我有课， s:我备课前提: (pq)r, rs, s结论: pq 14实例(续)前提: (pq)r, rs, s 结论: pq 证明 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 拒取式 pq 置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三15附加前提证明法欲证明 等价地证明前提: A1, A2, , Ak 前提: A1, A2, , Ak, C结论: CB 结论: B理由: (A1A2Ak)(CB) ( A1A2Ak)(CB) ( A1A2AkC)B (A1A2AkC)B16实例 例4 构造下面推理的证明:
7、前提: pq, qr, rs 结论: ps 证明 p 附加前提引入 pq 前提引入 q 析取三段论 qr 前提引入 r 析取三段论 rs 前提引入 s 假言推理 推理正确, ps是有效结论17归谬法(反证法)欲证明 前提：A1, A2, , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2AkB (A1A2Ak)B (A1A2AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2AkB)为重言式18实例例5 构造下面推理的证明前提: (pq)r, rs, s, p结论: q证明 用归缪法 q 结论否定引入 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式19实例(续) (pq)
8、r 前提引入 (pq) 析取三段论 pq 置换 p 析取三段论 p 前提引入 pp 合取推理正确, q是有效结论20课堂练习11、 证明2、 证明21证证明前提附加前提、，假言推理前提、，拒取式、，析取三段论前提、，拒取式、，CP22证证明假设前提 ，E1前提 、，假言推理前提 、，析取三段论前提 ，化简 、，合取引入 是一个永假式，因此，原推理正确。 23应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资助 许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴，所 以我没有很高的收入。”试指明前提和结论，并给予证明。课堂练习224应用实例2 将下列条件作为前提，验证所得结论是否有效： (a) 明天或是天晴，或是下雨； (b) 如果是天晴，我去公园； (c) 如果我去公园，我就不看书。结论：如果我在看书，则天下雨。25本节习题P.83: 2.33（1）、（3）2.352.36（1）26
