《2018年高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和学案新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和学案新人教a版必修5（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.32.3 等等差差数数列列的的前前n n项项和和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？新知初探1数列的前n项和对于数列an，一般地称a1a2an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2an.2等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Snna1an 2Snna1dnn1 2小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第 1 项a1起，一直到第n项所有项的和( )an(2)anSnSn
2、1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式( )(3)在等差数列an中，当项数m为偶数 2n时，则S偶S奇an1( )解析：(1)正确由前n项和的定义可知正确(2)错误例如数列an中，Snn22.当n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1.又a1S13，a1不满足anSnSn12n1，故命题错误(3)错误当项数m为偶数 2n时，则S偶S奇nd.答案：(1) (2) (3)2等差数列an中，a11，d1，则Sn等于( )An Bn(n1)预习课本预习课本 P4245，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 2Cn(n1) D.nn1 2解析：选 D 因为a11，d1，所以Snn
3、1nn1 22nn2n 2n2n 2，故选 D.nn1 23设等差数列an的前n项和为Sn，若a1 ，S420，则S6等于( )1 2A16 B24C36 D48解析：选 D 设等差数列an的公差为d，由已知得 4a1d20，4 3 2即 4 d20，解得d3，1 24 3 2S66 334548.1 26 5 24在等差数列an中，S42，S86，则S12_.解析：由等差数列的性质，S4，S8S4，S12S8成等差数列，所以 2(S8S4)S4(S12S8)，S123(S8S4)12.答案：12等差数列的前n项和的有关计算典例 已知等差数列an(1)a1 ，a15 ，Sn5，求d和n；5 6
4、3 2(2)a14，S8172，求a8和d.解 (1)a15 (151)d ，d .5 63 21 6又Snna1d5，nn1 2解得n15 或n4(舍)(2)由已知，得S8172，8a1a8 284a8 23解得a839，又a84(81)d39，d5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二” 一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式S
5、n结合使用na1an 2活学活用设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a811，则S9等于( )A13 B35C49 D63解析：选 D an为等差数列，a1a9a2a8，S963.9a2a8 29 14 2已知Sn求问题an典例 已知数列an的前n项和Sn2n2n2.(1)求an的通项公式；(2)判断an是否为等差数列？解 (1)Sn2n2n2，当n2 时，Sn12(n1)2(n1)22n25n1，anSnSn1(2n2n2)(2n25n1)4n3.4又a1S11，不满足an4n3，数列an的通项公式是anError!(2)由(1)知，当n2 时，an1an4(n1)3(4n3)4，但
6、a2a15164，an不满足等差数列的定义，an不是等差数列(1)已知Sn求an，其方法是anSnSn1(n2)，这里常常因为忽略条件“n2”而出错(2)在书写an的通项公式时，务必验证n1 是否满足an(n2)的情形如果不满足，则通项公式只能用anError!表示活学活用1已知数列an的前n项和为Snn2，则( )Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1解析：选 B 当n1 时，a1S11；n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1，此时满足a11.综上可知an2n1.2已知Sn是数列an的前n项和，根据条件求an.(1)Sn2n23n2；(2)Sn3n1.解：(1)当n1 时
7、，a1S17，当n2 时，anSnSn1(2n23n2)2(n1)23(n1)24n1，又a17 不适合上式，所以anError!(2)当n1 时，a1S12，当n2 时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1，显然a1适合上式，所以an23n1(nN*).等差数列的前n项和性质典例 (1)等差数列前n项的和为 30，前 2n项的和为 100，则它的前 3n项的和为( )A130 B1705C210 D260(2)等差数列an共有 2n1 项，所有的奇数项之和为 132，所有的偶数项之和为120，则n等于_(3)已知an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则Sn Tn2n
8、2 n3_.a5 b5解析 (1)利用等差数列的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列所以Sn(S3nS2n)2(S2nSn)，即 30(S3n100)2(10030)，解得S3n210.(2)因为等差数列共有 2n1 项，所以S奇S偶an1，即 132120S2n1 2n1，解得n10.132120 2n1(3)由等差数列的性质，知 .a5 b5a1a9 2 b1b9 2a1a9 2 9b1b9 2 9S9 T92 92 935 3答案 (1)C (2)10 (3)5 3等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k组成公差为k2d的等差数列
9、(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数)数列为等差数列Sn n(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，当项数为偶数 2n时，S偶S奇nd，；S奇 S偶an an1当项数为奇数 2n1 时，S奇S偶an，. S奇 S偶n n1活学活用1设等差数列an的前n项和为Sn，若S48，S820，则a11a12a13a14( 6)A18 B17C16 D15解析：选 A 设an的公差为d，则a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解得d ，a11a12a13a14S440d18.1 42等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为Sn，则数列的前
10、10 项和Sn n为_解析：因为an2n1，所以a13，所以Snn22n，n32n1 2所以n2，Sn n所以是公差为 1，首项为 3 的等差数列，Sn n所以前 10 项和为 310175.10 9 2答案：75等差数列的前n项和最值问题典例 在等差数列an中，a125，S17S9，求前n项和Sn的最大值解 由S17S9，得2517d259d，17 171 29 91 2解得d2，法一 公式法Sn25n(2)(n13)2169.nn1 2由二次函数性质得，当n13 时，Sn有最大值 169.法二 邻项变号法a1250，由Error!得Error!即 12 n13 .1 21 2又nN*，当n
11、13 时，Sn有最大值 169.7求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略(1)将Snna1dn2n配方，转化为求二次函数的最值问题，借nn1 2d 2(a1d 2)助函数单调性来解决(2)邻项变号法：当a10，d0 时，满足Error!的项数n使Sn取最小值活学活用已知an为等差数列，若a11，又0，S19为最小正值故选 C.层级一 学业水平达标1已知数列an的通项公式为an23n，则an的前n项和Sn等于( )An2 Bn23 2n 23 2n 2C.n2 D.n23 2n 23 2n 2解析：选 A an23n，a1231，Snn2 .n123n 23 2n 22等差数列an的前n项和为
12、Sn，若a70，a80 DS150解析：选 C 由等差数列的性质及求和公式得，S1313a70，S1513a1a13 215a8a5，则Sn取得最小值时n的值为( )A5 B6C7 D8解析：选 B 由 7a55a90，得.a1 d17 3又a9a5，所以d0，a10，67a1167(a110d)67a1670d0，即a110.故选 A.4已知等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整An Bn7n45 n3an bn数的正整数n的个数是( )A2 B3C4 D5解析：选 D an bna1a2n1 2 b1b2n1 2a1a2n1 22n1b1b2n1 22n1A2n1 B
13、2n172n145 2n137，当n取 1,2,3,5,11 时，符合条件，符合条件的n的个数是 5.14n38 2n212 n15若数列an是等差数列，首项a10，a203a2040a1a4060S4060，又由a10，所以公差d0，则数列an的前 203 项都是负数，那么 2a203a1a4050，前n项和为Sn，且a2a345，S428.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(c为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求c的值Sn nc解：(1)S428，28，a1a414，a2a314，a1a4 4 2又a2a345，公差d0，a20，得n0；当n18，nN*时，an0，an的前 17 项和最大(2)当n17，nN*时，|a1|a2|an|a1a2anna1dn2n.nn1 23 2103 2当n18，nN*时，|a1|a2|an|12a1a2a17a18a19an2(a1a2a17)(a1a2an)2(3 2 1721032 17) (32n2103 2n)n2n884.3 2103
