《2018年高中数学第一章导数及其应用1.1.1-1.1.2变化率问题导数的概念学案新人教a版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学第一章导数及其应用1.1.1-1.1.2变化率问题导数的概念学案新人教a版选修2-2（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11 11.1&1.1.21.1&1.1.2 变化率问题变化率问题 导数的概念导数的概念预习课本 P26，思考并完成下列问题(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？新知初探1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：.y xfx2fx1 x2x1(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)意义：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率y xf
2、x2fx1 x2x1为割线AB的斜率，如图所示fx1xfx1 x点睛 x是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即xx2x10，但 x可以为正，也可以为负2函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率定义式 limx0y xlimx0fx0xfx0 x 实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值2作用刻画函数在某一点处变化的快慢点睛 “x无限趋近于 0”的含义x趋于 0 的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0.3导数的概念定义式limx0y xlimx0fx0xfx0 x 记法f(x0)或y|xx0实质函数yf(x)在xx0处的导数
3、就是yf(x)在xx0处的瞬时变化率小试身手1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与 x值的正、负无关( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量( )(3)在导数的定义中，x，y都不可能为零( )答案：(1) (2) (3)2质点运动规律为s(t)t23，则从 3 到 3t的平均速度为( )A6t B6t9 tC3t D9t答案：A3已知函数f(x)2x24 的图象上两点A，B，且xA1，xB1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )A4 B4xC4.2 D4.02答案：C4在f(x0) 中，x不可能为( )limx
4、0fx0xfx0 xA大于 0 B小于 0C等于 0 D大于 0 或小于 0答案：C求函数的平均变化率典例 求函数f(x)x2在x1,2,3 附近的平均变化率，取 x的值为 ，哪一点附1 33近的平均变化率最大？解 在x1 附近的平均变化率为k12x；f1xf1 x1x21 x在x2 附近的平均变化率为k24x；f2xf2 x2x222 x在x3 附近的平均变化率为k36x；f3xf3 x3x232 x若 x ，则k12 ，k24 ，1 31 37 31 313 3k36 ，1 319 3由于k1k2k3，故在x3 附近的平均变化率最大求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量 yf(x1)
5、f(x0)(2)再计算自变量的改变量 xx1x0.(3)求平均变化率. y xfx1fx0 x1x0活学活用求函数yx3从x0到x0x之间的平均变化率，并计算当x01，x 时平均变化1 2率的值解：当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为y xfx0xfx0 xx0x3x3 0 x 3x3x0x(x)2，2 0当x01，x 时平均变化率的值为1 231231 2.1 2(1 2)19 4求瞬时速度典例 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)3tt2.4(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2 时的瞬时速度解 (1)当t0 时的速度为初速度在 0 时刻取一时间段0,0t
6、，即0，t，ss(t)s(0)3t(t)2(3002)3t(t)2，3t，li li (3t)3.s t3tt2 tm s tm 物体的初速度为 3.(2)取一时间段2,2t，ss(2t)s(2)3(2t)(2t)2(3222)t(t)2，1t，s ttt2 t (1t)1，limx0s tlimx0当t2 时，物体的瞬时速度为1.1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量 t和位移改变量 ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度 ；vs t(3)求瞬时速度，当 t无限趋近于 0 时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度s t2求(当 x无限趋近于 0 时)的极限的方法y x(1)在极限表达式
7、中，可把 x作为一个数来参与运算；(2)求出的表达式后，x无限趋近于 0 就是令 x0，求出结果即可 y x活学活用一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为st2，则t2 时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )1 2A2 B1C. D.1 21 45解析：选 A t2，s t1 22t21 2 22t1 2 2，故选 A.limx0s tlimx0(1 2t2)求函数在某点处的导数典例 (1)函数y在x1 处的导数为_x(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为yf(t)t33，当t14，t0.01 时，求 y和比值；y t求t14 时的导数解析 (
8、1)y1，1x，y x1x1x11x1li ，所以y|x1 .m 11x11 21 2答案：(1)1 2(2)解：yf(t1t)f(t1)3tt3t1(t)2(t)3，故当2 1t14，t0.01 时，y0.481 201，48.120 1.y t 3t3t1t(t)23t48，limx0y tlimx02 12 1故函数yt33 在t14 处的导数是 48，即y|t1448.1用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量 yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；y xfx0xfx0 x(3)求极限 .limx0y x2瞬时变化率的变形形式limx0fx0xfx0 x lim
9、x0fx0xfx0 x6 limx0fx0nxfx0 nx limx0fx0xfx0x 2xf(x0) 活学活用求函数yx 在x1 处的导数1 x解：因为 y(1x)x，所以1 1x(11)x 1x1.y xxx 1x x1 1x当 x0 时，2，y x所以函数yx 在x1 处的导数为 2.1 x对应课时跟踪检测一层级一 学业水平达标1如果一个函数的瞬时变化率处处为 0，则这个函数的图象是( )A圆 B抛物线C椭圆 D直线解析：选 D 当f(x)b时，瞬时变化率 0，所以f(x)的limx0y xlimx0bb x图象为一条直线2设函数yf(x)x21，当自变量x由 1 变为 1.1 时，函数
10、的平均变化率为( )A2.1 B1.1C2 D0解析：选 A 2.1.y xf1.1f1 1.110.21 0.13设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则( )Af(x)a Bf(x)bCf(x0)a Df(x0)b7解析：选 C f(x0) limx0fx0xfx0 x (abx)a.limx04如果质点A按照规律s3t2运动，则在t03 时的瞬时速度为( )A6 B18 C54 D81解析：选 B s(t)3t2，t03，ss(t0t)s(t0)3(3t)233218t3(t)2.183t. (183t)18，故应选 B.s tlim
11、x0s tlimx05已知f(x)x23x，则f(0)( )Ax3 B(x)23xC3 D0解析：选 C f(0) limx00x230x023 0 xli (x3)3.故选 C.m x23x xlimx06设f(x)ax4，若f(1)2，则a_.解析：f(1) limx0f1xf1 x a，a2.limx0a1x4a4 x答案：27.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为1，2，3，则三者的vvv大小关系为_解析：1kOA，2kAB，3kBC，vvv由图象知kOAkABkBC.答案：123vvv8球的半径从 1 增加到 2 时
12、，球的体积平均膨胀率为_解析：y 23 13，4 34 328 3.y x28 3 2128 3答案：28 389质点按规律s(t)at21 做直线运动(s单位：m，t单位：s)若质点在t2 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数a的值解：ss(2t)s(2)a(2t)21(a221)4ata(t)2，4aat，s t在t2 时，瞬时速度为 4a,4a8，a2.limx0s t10已知函数f(x)Error!求f(4)f(1)的值解：当x4 时，y14x14 1 214x4x22 4x.x2 4x 4x2.y x12 4x 4x2 limx0y xlimx012 4x 4x2.12 4 421 16f(4).1 16当x1 时，y xf1xf1 xx2，11x2112 x由导数的定义，得f(1)li (x2)2，m f(4)f(1)(2) .1 161 8层级二 应试能力达标1已知函数f(x)2x24 的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于( )y xA4 B4xC42x D42(x)2解析：选 C 2x4.y xf1xf
