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1、1第三章几何部分第二节 平面几何计算C2001 设 P 是正方形 ABCD 内的一点，满足PAPB PC123，求APB 【题说】 1979 年内蒙古区赛二试题 4【解】 作点 Q，使 CQ=PA，BQ=PB再连 PQ，显然APBBQC，故APBBQCABPCBQ因而PBQ 是等腰直角三角形且 PQ2=PB2=8PA2，因此PC2=9PA2=PQ2CQ 2于是CPQ 是直角三角形，故APB BQCCQP PQBC2002 设 N 是正九边形，O 为其外接圆圆心，PQ 和 QR 是 N 的两个邻边A 为 PQ 的中点，B 为垂直于 QR 的半径的中点试求 AO 与 AB的夹角【题说】 1992
2、年澳大利亚数学奥林匹克题 1【解】 设 C 为垂直于 QR 的半径与外接圆的交点，则POC 为等边三角形，从而 PBOC；又因 PAOA，所以 A、B 、O、P 四点共圆故OAB=OPB30 2C2003 如图，在等腰 ABC 中AC=BC，ACB=40在三角形的外部取一点 M，使MAB=20，MBA=40 ，求 MCB 【题说】 1992 年友谊杯国际数学竞赛八年级题 3【解】 不妨设 AC=BC=1，则由余弦定理知 AB=2sin20再由正C2004 锐角ABC 的外心为 O线段 OA，BC 的中点分别为M、N ABC 4OMN，ACB6OMN求OMN 【题说】 1995 年日本数学奥林匹
3、克预选赛题 3【解】 如图，设OMN= ，则ABC4， ACB 6， BAC 18010，NOCBOC2BAC18010，MOC=2ABC 8从而MON=8 （18010）1802ONM180（MONOMN）OMN所以OMN 为等腰三角形从而 ONOMOA2OC 2故NOC 6018010 ，12C2005 一直线与正六边形 ABCDEF 相交，截出一个AKN，其中AKANAB试求KAN KBNKCNKDNKENKFN 等于多少度？3【题说】 第五十八届（1995 年）莫斯科数学奥林匹克八年级题 6【解】 不妨设点 N 位于边 AB 上点 K 位于边 AF 上，由于AKAN=AB故 FK=AN
4、分别在边 BC、CD、DE 、EF 上取点 P、R、S、T使得FK=AN=BP=CR=DS=ET（见图） 于是KBN=TAKKCN= SATKDN=RASKEN= PARKFN= NAP所以 KAN+KBNKCN+KDNKEN KFN=KANTAKSAT+RASPAR+NAP=KANKAN2120240 C2006 锐角ABC 的高 AA1、BB 1 和 CC1 的中点分别是 A2、B 2和 C2，求 B 2A1C2、C 2B1A2 与A 2C1B2 之和【题说】 第二十一届（1995 年）全俄数学奥林匹克九年级题 6【解】 设 M 是 AB 边的中点线段 MA2 和 MB2 分别是 AA 1
5、B 和AB1B 的中位线，由此得A 2MB2=ACB设 H 为ABC 的垂心，则HC 1M=HA 2M=HB 2M=90，所以M、A 2、 H、B 2、C 1 都在以 HM 为直径的圆上，所以A 2C1B2=A 2MB2=ACB同理 B 2A1C2=BACC 2B1A2=CBA所以所求的三个角之和等于ABC 三内角之和，即 180 C2007 设ABC 是一个等腰三角形，其中 ABAC假如B 平分线交 AC 于 D，且 BCBD AD求A 度数【题说】 第二十八届（1996 年）加拿大数学奥林匹克题 4【解】 在 BC 上取 BE=BD则 EC=AD由分角线定理，有4又C 公用，故ABCEDC
6、设ABDCBD，则CDEDCE2BDEBED4从而 9180，20ACED5100 C2009 作三边长为 a、b、c 的三角形 ABC 的内切圆又作三条分别平行于这三角形各边的圆的切线这三条切线从三角形 ABC 中截得三个新的三角形，再在每个新的三角形中作内切圆，计算这四个圆的面积和【题说】 第六届（1964 年）国际数学奥林匹克题 3本题由南斯拉夫提供【解】 考虑一个截得的三角形；比如 APQ （如图）因 APQ ABC，所以其中 ra 为APQ 的内切圆半径因此，所求面积和为（，s 分别为ABC 的面积与半周长） C2010 凸四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 延长相交于 E设 H
7、 和 G分别是 BD 和 AC 的中点求EHG 的面积对四边形 ABCD 面积的比5【题说】 第十届（1978 年）加拿大数学奥林匹克题 4【解】 连 AH、CH，有SEGHS ECHS GCHS EGC因此 S EHGS ABCD=14 C2011 A、B、C 三点共线并且 B 在 A 与 C 之间，在 AC 的同一侧分别以 AB、BC 、AC 为直径作半圆，前两个半圆的外公切线的切点分别为U、V，而过点 B 的公切线与第三个【题说】 1980 年五国国际数学竞赛题 2本题由卢森堡提供【解】 设 EA、EC 分别交前两个半圆于 U、V，则四边形 EUBV是矩形，VUB=EBU=EAB，UVB
8、=ECB ，UV是两个半圆的公切线，U即 U，V即 VC2012 一金工车间的切割工具呈有缺口的圆形，如图所示，圆6B 点到圆心的距离（以厘米为单位）的平方【题说】 第一届（1983 年）美国数学邀请赛题 4OB2OA 2AB 22OAABcos OAB 26 C2013 如图，在ABC 内选取一点 P，过 P 作三条分别平行于各边的直线，这样所得到的三个三角形 t1、t 2、t 3 的面积，分别是4、9、49求ABC 的面积，【题说】 第二届（1984 年）美国数学邀请赛题 3【解】 t 1，t 2，t 3 的对应边的比：即 BHAGGH=237所以 ABGH=127SABCS PGH=12
9、27 2SABC144 C2014 如图所示，将ABC 的三个顶点与同一个内点连接起来，所得三条连线把ABC 分成 6 个小三角形，其中 4 个小三角形的面积已在图上标出试求ABC 面积7【题说】 第三届（1885 年）美国数学邀请赛题 6【解】 设 SCDP=x，S AEP=y，则有由（1） 、 （2）解得 x=70，y=56，故 SABC=315 C2015 一个梯形被两条对角线分成四个三角形，若用 A、B 分别表示以梯形上、下底为底边且有公共顶点的两个三角形的面积，求此梯形的面积【题说】 1988 年新加坡数学奥林匹克（ A 组）题 8原题为选择题【解】 如图所示，过三角形 A、B 的公
10、共顶点引高，分别记为x、y，记另两个三角形的面积为 C、D容易证得：所以梯形的面积=AB C DC2016 ABC 是面积为 1 的直角三角形A 、B、C分别是A、B 、 C 关于各自对边的反射（对称）点求ABC的面积8【题说】 第二十一届（1989 年）加拿大数学奥林匹克题 2【解】 如图，设 CC 交 AB 于 D，延长交 AB于 D，则易知CDAB，AB=ABCD=3CD ，故C2017 D、E 为ABC 边 AB、AC 上的点，BE、CD 交于 PADE、 BPD 、 CEP 的面积分别是 5、8、3，求ABC 的面积【题说】 1994 年日本数学奥林匹克预选赛题 5【解】 如图，设P
11、DE、PBC 的面积分别为 x、y，则（5+x+3）（8+y）=ADDB=5（x+8）即 x2+16x+24=5y （1）又 8y=DPPC=x3即 xy=24 （2）由（1） 、 （2）解得 x=2，y=12从而ABC 的面积为 30 C2018 凸五边形 ABCDE 中，BE 分别交 AC、AD 于 S、R，BD 分别交 CA、CE 于 T、P，AD 交 CE 于 Q且ASR、BTS 、CPT 、DQP、 ERQ 的面积均为 1（1）求五边形 PQRST 的面积；（2）求五边形 ABCDE 的面积【题说】 1995 年日本数学奥林匹克题 3【解】 （1）设五边形 PQRST 的面积为 x由
12、 SBST=SASR 得 SBTR=SATR，从而 BATR所以9同理可得 BCAD ，CD BE，DE AC，EABD由 AEBD 得即整理得 x 2=5（2）由 ACDE 得C2019 设 A、B 、C、D、E，F 分别是六边形 ABCDEF 的六边AB、BC 、CD、DE、EF、FA 的中点试利用ABC、BCD、CDE、 DEF 、EFA 、 FAB的面积表示六边形 ABCDEF 的面积【题说】 1996 年城市数学联赛高年级高水平题 3【解】 A是 AB 的中点，故102SEFA=SEFA+SEFB同理可得2SFAB=SFAB+SFAC2SABC=SABC+SABD2SBCD=SBCD
13、+SBCE2SCDE=SCDE+SCDF2SDEF=SDEF+SDEA另一方面SABCDE=SEFA+SDEA+SABD+SBCD=SFAB+SEFB+SBCE+SCDE=SABC+SFAC+SCDF+SDEFC2-020 在一个边长为 1 的正六边形内部有一点 P，已知 P 到某两 【题说】 1963 年北京市赛高二二试题 311C2-021 侦察机沿以 A 为圆心、半径为 10 公里的圆周飞行，速度为每小时 1000 公里某时刻从 A 点发射一枚与飞机具有相同速度的火箭，无论何时火箭总在连结圆心与飞机的直线上，问火箭发射后，什么时间可以追上飞机？【题说】 1965 年全俄数学奥林匹克十年级题 5【解】 设火箭发射时，飞机在 Q 点，半径 ABAQ（如图） ，以 AB为直径作半圆对半圆上任一点 R，延长 AR 交A 于 P，连 RB，C2-022 给定三个单位圆，两两相切，求切于所有三个圆的圆的半径【题
