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1、2015 年高考真题理科数学（解析版） 新课标 I 卷- 1 - / 82015 年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷数学（理科） 一选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。1设复数满足，则( ) （A）1 （B） （C） （D）z1 1ziz| z 2322( ) （A）（B）（C）（D）0000sin20 cos10cos160 sin103 23 21 21 23设命题：，则为( ) （A），pnN 22nn pnN 22nn （B）， （C）， （D），nN 22nn nN 22nn nN 22nn 4投篮
2、测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）0.6 （A）（B）（C）（D）0.6480.4320.360.3125已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点，若00,M xyC2 212xy12,F FC，则的取值范围是( ) （A）120MF MF 0y（B） （C）3 3, 3 33 6, 3 6（D）2 2 3,2 2 32 3 3,2 3 36 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五 尺。问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆
3、放米（如图） ，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的 弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有( )1.62 （A）14 斛 （B）22 斛 （C）36 斛 （D）66 斛7设为所在平面内一点，则（ ） （A）DABC3BCCD 14 33ADABAC （B） （C）14 33ADABAC （D）41 33ADABAC 41 33ADABAC 8函数的部分图像如图所示， cosf xx54141yxO2015 年高考真题理科数学（解析版） 新课标 I 卷- 2 - / 8则的单调递减区间为（ ）
4、f x（A）13,44kkkZ（B）132,244kkkZ（C）13,44kkkZ（D）132,244kkkZ9执行右面的程序框图，如果输入的，则输出0.01t 的 ( ) （A）5 （B）6 （C）7 （D）8n 10的展开式中，的系数为( )52xxy52x y（A）10 （B）20 （C）30 （D）60 11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个r 几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为，则（ ）1620r （A）1 （B）2 （C）4 （D）812设函数，其中，若存在唯 21xf xexaxa1a 一的整数，使得，则的取值范围是( ) 0x
5、 00f xa（A） （B） （C） （D）3,12e33,24e33,24e3,12e二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13若函数为偶函数，则_。 2lnf xxxaxa 14一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴上，则该圆的标准方程为22 1164xyx_。15若满足约束条件，则的最大值为_。, x y10040xxyxy y x俯 俯 俯俯 俯 俯rr2r2r2015 年高考真题理科数学（解析版） 新课标 I 卷- 3 - / 816在平面四边形中，已知ABCD，则的取值范075ABC 2BC AB围是_。 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤。17 （本小题满分
6、 12 分）为数列的前项nS nan和，已知，0na 。求的通项2243nnnaaS na公式；设，求数列11n nnba a的前项和。 nbn18 （本小题满分 12 分）如图，四边形为菱形，ABCD0120ABC是平面同侧两点，平面，平面，,E FABCDBEABCDDFABCD2BEDF。证明：平面平面；求直线与直线所成角的余弦值。AEECAECAFCAECF19 （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传 费（单位：千元）对年销售量（单位： ）和年利润（单位：千元）的影响，对近 8xytz年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些
7、ix1,2,8iy i 统计量的值。表中，。根据散点图判断，与iiwx811 8i iwwyabx哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，ycdxyx不必说明理由） ；根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；已知这种yx产品的年利率与的关系为。根据的结果回答下列问题：年宣传费z, x y0.2zyx时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费为何值时，年利率的预报值最49x xxyw821i ixx821i iww81ii ixxyy81ii iwwyy46.65636.8289.81.61469108.8FEDCBA2015 年高考真题理科数学（解析版） 新课
8、标 I 卷- 4 - / 8大？（附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距 1122,nnu vu vu vvu的最小二乘估计分别为：，）A121=nii i ni iuuvvuuAA=vu20 （本小题满分 12 分) 在直角坐标系中，曲线：xOyC与直线交于两点。当24xy 0ykxa a,M N时，分别求在点和处的切线方程；轴上是0k CMNy否存在点，使得当变动时，总有？说PkOPMOPN 明理由。21 （本小题满分 12 分）已知函数，。当为何值 31 4f xxax lng xx a时，轴为曲线的切线；用表示中的最小值，设函数x yf xmin,m n,m n，讨论零点的个数。 mi
9、n,0h xf xg xx h x请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请 写清题号。22 （本小题满分 10 分）如图，AB是的直径，是的切线，交于OACOBCO。若为的中点，证明：是的切线；若，求的大EDACDEO3OACEACB小。23 （本小题满分 10 分）在直角坐标系中，直线：，圆：xOy1C2x 2C。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。求，22121xyx1C的极坐标方程；若直线的极坐标方程为，设与的交点为，2C3C4R2C3C,M N求的面积。2C MN24 （本小题满分 10 分）已知函数。当时，求 |1| 2|0
10、f xxxaa1a 不等式的解集；若的图像与轴围成的三角形面积大于 6，求的取值范 1f x f xxa围。EDCBAO2015 年高考真题理科数学（解析版） 新课标 I 卷- 5 - / 82015 年普通高校招生全国统考数学试卷新课标 I 卷解答一ADCAA BADCC BD二131；14；153；162 2325 24xy62, 6217解：由题，2 111124343aaSa因为，所以。当时，即0na 13a 2n 22 11224nnnnnaaaaa，因为，所以，所以数列是首1112nnnnnnaaaaaa0na 12nnaa na项为 3，公差为 2 的等差数列，所以；21nan由
11、得，所以数列的前项和为1111 21232 2123nbnnnn nbn。12111111111 235572123646nbbbnnn18解：连，设，连。在菱形中，设，BDBDACG,EG FG EFABCD1GB 易得。由平面，可知。又，3AGGCBE ABCDABBCAEECAEEC故，。在中，可得，故。在3EG EGACRt EBG2BE 2 2DF 中，可得。在直角梯形中，易得，故Rt FDG6 2FG BDFE3 2 2EF ，因此。又，故平面。因222EGFGEFEGFGFGACGEGAFC平面，故平面平面；EG AECAECAFC如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，为单
12、位长度，G,GB GC , x y|GB 建立空间直角坐标系。由可得，Gxyz0,3,0A1,0,2E1,0,2 2F ，故，因此0, 3,0C1, 3,2AE 1,3,2 2CF 。所以直线与所成的角的余弦值为。3cos,3|AE CFAE CFAE CF AECF3 319解：由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回ycdxyxzyxGFEDCBA2015 年高考真题理科数学（解析版） 新课标 I 卷- 6 - / 8归方程类型；令，先建立关于的回归方程。因，wxyw81 821108.8=6816ii ii iwwyy d ww 故，所以关于的回归方程为；56368 6.8100.6cydwyx100.668yx由知，当时，年销售量的预报值，年利润49x y100.668 49576.6y 的预报值；z576.6 0.24966.32z 由知，年利润的预报值，当z0.2 100.66813.620.12zxxxx
