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1、概率论与数理统计试卷 A 卷 第 1 页 共 4 页第一部分 基本题 一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） （每道选择题选对满分，选错 0 分） 1. 事件表达式 AB 的意思是 ( ) (A) 事件 A 与事件 B 同时发生(B) 事件 A 发生但事件 B 不发生 (C) 事件 B 发生但事件 A 不发生(D) 事件 A 与事件 B 至少有一件发生 答：选 D，根据 AB 的定义可知。 2. 假设事件 A 与事件 B 互为对立，则事件 AB( ) (A) 是不可能事件(B) 是可能事
2、件 (C) 发生的概率为 1(D) 是必然事件 答：选 A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 3. 已知随机变量 X,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则 X2Y2服从 ( ) (A) 自由度为 1 的2分布(B) 自由度为 2 的2分布 (C) 自由度为 1 的 F 分布(D) 自由度为 2 的 F 分布 答：选 B，因为 n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为 n 的2分布。4. 已知随机变量 X,Y 相互独立，XN(2,4),YN(2,1), 则( ) (A) X+YP(4)(B) X+YU(2,4)(C) X+YN(0,5)(D) X+YN(0,3) 答
3、：选 C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y) =D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有 X+YN(0,5)。 5. 样本(X1,X2,X3)取自总体 X，E(X)=, D(X)=2, 则有( ) (A) X1+X2+X3是的无偏估计(B) 是的无偏估计123 3XXX(C) 是2的无偏估计(D) 是2的无偏估计2 2X2 123 3XXX答：选 B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。 6. 随机变量 X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则 X 的数学期望 E(X)的值为( ) (A) 2(B) 3(
4、C) 3.5(D) 4 答：选 C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。把答案填在题中横线上） 1. 已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则 P(AB)= _ 答：填 0.18, 由乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。 2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是 0.4，则飞机被击中的概率为 _ 答：填 0.784，是因为三人都不中的概率为 0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是 10.216=0.784。 3. 一个袋内有 5 个红球，3
5、个白球，2 个黑球，任取 3 个球恰为一红、一白、一黑的概率为_答：填 0.25 或，由古典概型计算得所求概率为。1 43 105 3 210.254C 4. 已知连续型随机变量 则 PX1.5=_,01, ( )2,12,0,.xx Xf xxx 其其答：填 0.875，因 PX1.5。1.50( )d0.875f xx5. 假设 XB(5, 0.5)(二项分布), YN(2, 36), 则 E(X+Y)=_ 答：填 4.5，因 E(X)=50.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5概率论与数理统计试卷 A 卷 第 2 页 共 4 页6. 一种动物
6、的体重 X 是一随机变量，设 E(X)=33, D(X)=4，10 个这种动物的平均体重记作 Y，则 D(Y)_ 答：填 0.4，因为总体 X 的方差为 4，10 个样本的样本均值的方差是总体方差的 1/10。 三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任 取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 （10 分） 解：设从甲袋取到白球的事件为 A，从乙袋取到白球的事件为 B，则根据全概率公式有( )( ) (|)( ) (|)211150.417323412P BP A P B AP A P B A四、已知随机变量 X 服从在区间(0,1
7、)上的均匀分布，Y2X +1，求 Y 的概率密度函数。 （10 分）解：已知 X 的概率密度函数为1,01,( )0,.Xxfx 其其Y 的分布函数 FY(y)为11( )2122YXyyFyP YyPXyP XF 因此 Y 的概率密度函数为1,13,11( )( )2220,.YYXyyfyFyf其其五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：Y X11210.10.20.3 20.20.10.1 (1) 试求 X 和 Y 的边缘分布率 (2) 试求 E(X),E(Y),D(X),D(Y),及 X 与 Y 的相关系数XY(满分 10 分) 解：(1)将联合分布表每行相加得
8、X 的边缘分布率如下表： X12 p0.60.4 将联合分布表每列相加得 Y 的边缘分布率如下表： Y112 p0.30.30.4(2) E(X)10.6+20.4=0.2, E(X2)=10.6+40.4=2.2,D(X)=E(X2)E(X)2=2.20.04=2.16E(Y)10.3+10.3+20.4=0.8, E(Y2)=10.3+10.3+40.4=2.2D(Y)= E(Y2)E(Y)2=2.20.64=1.56E(XY)=(1)(1)0.1+(1)10.2+(1)20.3+2(1)0.2+210.1+220.1=0.10.20.60.4+0.2+0.40.5 cov(X,Y)=E(
9、XY)E(X)E(Y)0.50.160.66概率论与数理统计试卷 A 卷 第 3 页 共 4 页cov(, )0.660.660.361.836()( )2.16 1.56XYX Y D X D Y 六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取 15 个进行检验，算出平均使用寿命为 1950 小时，样本标准差 s 为 300 小时，以 95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区 间。 (满分 10 分) 解：已知样本均值, 样本标准差 s=300, 自由度为 151=14, 查 t 分布表得 t0.025(14)=2.1448, 1950x 算出, 因此平均使用寿命的置信区间为
10、，即(1784, 2116)。0.0252.1448 300(14)166.13.87315st166.1x 附：标准正态分布函数表221( )ed2uxxu(x)0.90.950.9750.99x1.2815511.6448531.9599612.326342t 分布表 Pt(n)tn)= N0.10.050.025141.34501.76132.1448 151.34061.75312.1315 161.33681.74592.1199 第二部分 附加题 附加题 1 设总体 X 的概率密度为(1),01,( ; )0,xxf x 其其其中1 为未知参数，又设 x1,x2,xn是 X 的一组
11、样本观测值，求参数的最大似然估计值。 （满 分 15 分） 解：似然函数1(1)n n i iLx 11lnln(1)lndlnlnd(1)ni ini iLnxLnx令，解出的最大似然估计值为dln0dL 11 lnni inx 概率论与数理统计试卷 A 卷 第 4 页 共 4 页附加题 2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于 X 和关 于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 （满分 15 分）YXy1y2y3PX=xi=ipx11 8x21 8PY=yj=jp1 61解：已知 X 与 Y 独立，则pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj), 经简单四则运算，可得YXy1y2y3PX=xi=ipx11 241 81 121 4x21 83 81 43 4PY=yj=jp1 61 21 31
