自动控制系统性能的频域分析

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1、第5章 自动控制系统的性能分析 第5章 自动控制系统性能的频域分析 概述 自动控制系统的稳定性分析 自动控制系统的稳态性分析 自动控制系统的动态特性分析 系统分析举例水位控制系统第5章 自动控制系统的性能分析 概述 研究任何自动控制系统的首要的工作是建立合 理的数学模型。一旦建立了数学模型，就可以 进行自动控制系统的分析和设计。对控制系统 进行分析，就是分析控制系统能否满足它所提 出来的性能指标要求，分析某些参数变化对系 统性能的影响。工程上对系统性能进行分析的 主要内容是：稳定性能、稳态性能和动态性能 分析。其中最重要的是系统的稳定性能，这是 因为工程上所使用的控制系统必须首先是稳定 的系统

2、，不稳定的系统是根本无法工作的。因 此分析研究系统时，首先要对系统进行稳定性 分析。其次是系统的稳态性能分析，这是因为 系统经过长期运行在稳态状态下，因此其稳态 性能直接关系到日常工作的质量；最后是系统 的动态性能分析，这主要是针对那些要求快速 且双平稳过渡的系统。第5章 自动控制系统的性能分析 稳定性分析是自动控制系统中最重要的性 能分析，这是因为工程上所使用的控制系 统首先必须是稳定的系统，不稳定的系统 不仅无法工作，也没有其使用的价值。 系统的稳定性（Stability）是指自动控 制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后 ， 经过调节，能重新达到平衡状态的性 能。 造成系统主要有两种：即系

3、统内部参数结 构上的原因和外部控制上的客观原因。5.1 自动控制系统的稳定性分 析 第5章 自动控制系统的性能分析 稳定系统与不稳定系统 a)不稳定系统 b)稳定系统 第5章 自动控制系统的性能分析 造成自动控制系统不稳定的物理原因 第5章 自动控制系统的性能分析 系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定 性。系统的绝对稳定性是指系统稳定(或不稳定 )的条件。 即形成系统稳定的充要条件。 系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度。 自动控制系统的相对稳定性 a)相对稳定性好 b)相对稳定性差 第5章 自动控制系统的性能分析 稳定自动控制系统的相对稳定性(a) 相对稳定性好; (b) 相对稳定性差

4、第5章 自动控制系统的性能分析 系统稳定区域系统稳定区域系统稳定的充要条件 系统稳定的必要和充分条件是：特征方程的所 有的根的实部都必须是负数。亦即闭环系统的 所有极点都必须在复平面的左侧。系统不稳定区域系统不稳定区域+1系统特征 方程的根 ，或者说 其系统的 传递函数 的极点都 在复数平 面的左半 平面系统特征 方程的根 ，或者说 其系统的 传递函数 的极点有 在复数平 面的右半 平面+j第5章 自动控制系统的性能分析 控制系统稳 定性和特征 根（闭环极 点）之间的 关系第5章 自动控制系统的性能分析 n对稳定的系统，若负实根或具有负实部的复根离虚 轴(Im轴)愈远，指数曲线衰减得愈快，则系

5、统的调整 时间愈短，系统的相对稳定性就会愈好。 n若系统特征根有多个，那么最靠近虚轴的极点，对 系统稳定性(衰减慢)的影响最大，因此通常把最靠近 虚轴的闭环极点，称为闭环主导极点。 第5章 自动控制系统的性能分析 奈氏稳定性判据 奈氏(Nyquist)稳定判据：奈氏判据说明，如果 系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定的 充要条件是：它的开环幅相频率特性曲线不包 围(-1，j0)点。反之，若曲线包围(-1，j0)点 ，则闭环系统将是不稳定的。若曲线通过(-1， j0)点，则闭环系统处于稳定边界。 第5章 自动控制系统的性能分析 由上面的例子，我们发现在奈氏稳定性判据中 ，最重要的就是对奈氏曲线

6、是否包围（-1，j0 ）这个点的判断，而这个点所包含的物理特性 并不难理解，下面，我们就这个点的物理特性 作一个简单的分析： 我们知道，系统频率特性的定义是：相频率特性为：其中幅频特性为：第5章 自动控制系统的性能分析 而奈氏图上（-1，j0）这个点，在复数平面上 的物理意义是指一条从原点出发，其大小（幅 值）为1，方向（幅角）为 的一条有向线 段。+1+j（-1，j0）当奈氏曲线与（-1，j0）有交 点时，说明当=0时，该系 统的幅频特性为：相频特性为：特别是，当奈氏曲线包围（-1，j0）时，则更加说明：第5章 自动控制系统的性能分析 n这就说明：当输入的正弦激励为0 时，或者当系统 内部扰

7、动使系统工作在了0这一频率点上时，系统的 输出响应的幅值与输入激励信号幅值大小相等；或大 于输入信号的幅值包围（-1，j0）时，但相位上却 相差了 。 n由于我们所研究的自动控制系统均采用的是负反馈， 所以当输入与输出的信号在相位上相差 ，这就意 味着，原来的负反馈系统在这一频率点上形成了实际 意义上的正反馈，当然系统也就不再稳定。 n从电路基础的谐波理论上看，任何非周期的电信 号都可以通过傅里叶级数将其分解为有无限多种不同 频率的正弦周期信号的代数和，因此只要系统的开环 频率特性包围或交在了（-1，j0）这一点上的话，那 么我们就无法排除0这一点给系统造成的不稳定。第5章 自动控制系统的性能

8、分析 对数频率稳定性判据 奈氏判据是在奈氏图的基础上进行的。而 在前一章中，我们已经了解了作奈氏图的 复杂性，所以如果被分析的自动控制系统 是具有最小相位的开环传递函数的最小相 位系统的话，那么在工程上我们就可以采 用系统的开环对数频率特性（Bode图）来 判别该闭环系统的绝对稳定性与相对稳定 性。而这就是所谓的对数频率稳定性判据 。 对数频率稳定性判据是在奈氏稳定性判据 基础上发展而来的，因此它实质上是具有 最小相位传递函数系统的奈氏稳定性判据 在伯德图上的一种表示表示形式。第5章 自动控制系统的性能分析 1、奈氏图上以原点为圆心的单位圆对应于伯德图上 的0dB线。第5章 自动控制系统的性能

9、分析 2、奈氏图上的负实轴对应于伯德图上的-180度的相频 曲线。第5章 自动控制系统的性能分析 频率稳定判据在极坐标图和对数坐标图上的对照 a)奈氏判据 b)对数频率判据 若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是 ：当 线过0dB线时， 在 线 上方( 0)。 第5章 自动控制系统的性能分析 1.相位稳定裕量(Phase Margin)( )的定义： 稳定裕量与系统相对稳定性 稳定裕量(Stability Margin)表示自动控制 系统的相对稳定的程度，亦即表示了自动控 制系统的相对稳定性(Relative Stability) 。 第5章 自动控制系统的性能分析 当=c时， ，我们

10、称奈氏曲线 的模等于1时所对应频率叫穿越频率c ，它正好对 应对数幅频特性上 与0dB线的交点。此时，奈氏 曲线上该点距离-轴的角度就是相位稳定裕量 。 它与对数相频特性 上的 线上的角度相对应 。 第5章 自动控制系统的性能分析 且有： 若 0，则表明 未包围(-1， j0)点，系统是稳定的。而且 愈大，则表示系 统离稳定边界“距离”愈远，系统稳定性愈好，工 作愈可靠。 若 =0，则系统的 穿过(-1，j0) 点，系统处于稳定边界。 若 0，则表明系统的 已包围 了(-1，j0)点，系统是不稳定的。 对一般闭环控制系统，通常希望 =(30 45)左右。 由此，相位稳定裕量 在对数相频特性上可

11、定义 为： 第5章 自动控制系统的性能分析 2.相位稳定裕量的求取 相位裕量 计算方法(对最小相位系统)是：由开 环传递函数 作系统的开环对数幅频特 性（一般以渐近线近似代替），从图中得到穿越频 率 （计算或图解均可），计算出对应于 时的相位 再由下面的式子求得 。一般最小相位系统的开环传递函数总可以表示为如 下形式，即： 第5章 自动控制系统的性能分析 代入相位稳定裕量的计算公式，有：即系统可简化成由比例环节K、 个积分环节、 个惯性 环节和 个比例微分环节组成的，则其对应于c 时 的相位 为： 式中， 为惯性环节时间常数； 为比例微分环节的 时间常数。 第5章 自动控制系统的性能分析 由上

12、式可见： 系统在前向通路中含有积分环节将使 系统的稳定性严重变差； 系统含惯性环节也会使系统的稳定性 变差，其惯性时间常数越大，这种影 响就越显著； 微分环节则可改善系统的稳定性。 第5章 自动控制系统的性能分析 自动控制系统的稳定性分析举 例 图为一典型二阶系统框图。在如图所示的系统 框图中，T、K2、K3为系统固有参数，K1为比例 调节器放大倍数，是可调的，下面来分析改变K1 对系统稳定性的影响： 由图示框图可知系统的开环传递函数为：由图示框图可知系统的开环传递函数为：第5章 自动控制系统的性能分析 以上分析表明：对二阶系统，加大增益，将使系统 稳定性变差。 第5章 自动控制系统的性能分析

13、 三阶系统的稳定性分析 下面就以三个惯性环节组成的系统为例来分析 说明三阶系统的稳定性。此系统的开环传递函 数为： 今设式中T1 T2T3，由上式可画出此系统的对数 频率特性(伯德图)如图所示。 第5章 自动控制系统的性能分析 当K=K1，增益较小, 附近 的斜率为- 20dB/dec系统稳定，且稳定 裕量较大，稳定性较好。当K=K2，增益较大, 附近 的斜率为- 40dB/dec系统虽属稳定， 但稳定裕量较小，相对稳 定性变差。 当K=K3，增益过大, 附近 的斜率为- 60dB/dec由于 ，故系 统已变的不稳定。第5章 自动控制系统的性能分析 由以上分析可见，对三阶系统，加大增益，将使系

14、统 稳定性变差，甚至造成不稳定。由此，伯德提出：为 了保证系统有足够的稳定裕量，在设计自动控制系统 时，要使 附近(左、右各几个频程) 的 斜率为 -20dB/dec(这又称伯德第一定理)。 【例5-1】分析如图5-11所示的随动系统的相位稳定 裕量。 图5-11 位置随动系统结构图 第5章 自动控制系统的性能分析 解:在已知随动系统的系统参数后，可通过计算得 到该随动系统的开环传递函数： 由上式，可得： 于是，该系统的对数幅频特性如图5-12曲线所 示： 第5章 自动控制系统的性能分析 由图解可得 (可以证明，上图中 ) 利用相位稳定裕量的计算公式，可得： 第5章 自动控制系统的性能分析 由

15、以上分析可见，由于 ，显然，该系统不能 稳定运行。应用MATLAB软件进行系统仿真，即可得如 图5-13a所示的波形，系统为不稳定的发散状况。图5-13（a） 系统稳定性分析举例 第5章 自动控制系统的性能分析 【例5-2】若将上题中的放大器的增益K2降为 原先的1/4，即 =0.5，重解上题。 解:由K2=0.5有K=28.6，于是20lgK=20lg28.6=29.1dB同时由式可得：此时系统的对数幅频特性如图5-13曲线所示。 第5章 自动控制系统的性能分析 同理由相位裕量计算公式，得： 图5-13（b）系统稳定性分析举例此时，系统的相位裕 量 ，这样 系统成为稳定系统。 但是由于其稳定裕量 并不大，所以其稳定 性能仍然不好。由图5 -13b可见，系统的最 大超调量高达60% 。 第5章 自动控制系统的性能分析 5.2 自动控制系统的稳态性能分 析 稳态误差始终存在于系统的稳态工作状态之中。 系统稳态误差的概念暂态响应与稳态响应 误差传递函数 系统稳态误差与输入信号之间的关系自动 控制系统中的典型输入信号