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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学学（1 1）第三讲第三讲 数列的极限数列的极限授课教师：易学军 欢迎观看第 二 章 极 限本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。第 二 章
2、 极 限第一节 数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质四、数列的收敛准则称为一个数列, 记为 xn .1. 定义数列中的每一个数称为数列的一项数列中的每一个数称为数列的一项x xn n= = f f ( (n n) ) 称为数列的通项或一般项称为数列的通项或一般项一、数列及其简单性质数列也称为序列2. 2. 数列的表示法数列的表示法公式法图示法表格法运用数轴表示运用直角坐标系表示介绍几个数列xn0242nx1x2 x 例1xnx2x1x0x3 011x所有的奇数项所有的奇数项所有的偶数项所有的偶数项x 1M3x1xx4x2 0所有奇数项所有奇数项1xnx3x2x1 x
3、03. 数列的性质单调性有界性(1) 数列的单调性单调增加单调增加不减少的不减少的数列单调减少的情形怎么定义？单调减少单调减少不增加的不增加的严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列(2) (2) 数列的有界性数列的有界性回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形我学过吗 ？数列的有界性的定义如何定义数列无界？有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？想想：| xn | 0, 不论它的值多么小,当 n 无限增大时, 数列 xn 总会从某一项开始, 以后的所有项都落在 U(0, ) 中.（在 U(0, ) 外面只有有限项
4、）010) 1( N 描述 n .通过目标不等式来寻找 N 0 ,N = N().不等式称为目标不等式.一般地, 如果数列xn 当 n 时, 列xn 当 n 时以 a 为极限, 记为xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数此时, 也称数列是收敛的.例4 001若 xn 当 n 时没有极限, 则称 xn 发散.若时,使当 记为或此时, 也称数列 xn 是收敛的.极限描述的是变量的变化趋势极限描述的是变量的变化趋势数列的项不一定取到数列的项不一定取到 它的极限值它的极限值. .数列极限的定义：例5例6例7例8例9例101.1.唯一性定理唯一性定理 若数列 xn 收敛, 则其极限值必唯一.想想,
5、如何证明它？三、数列极限的性质三、数列极限的性质设数列 xn 收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：证运用反证法反证法任 意 性常 数由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .唯一性定理的推论唯一性定理的推论的任何一个子数列都收敛, 且均以 a 为极限 .充分必要条件何何 谓谓 子子 数数列列 ？子子数列的概念数列的概念在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为唯一性定理的推论往往用来证明或判断唯一性定理的推论往往用来证明或判断 数列极限不存在数列极限不存在例11例122.2
6、.有界性定理有界性定理若数列 xn 收敛, 则 xn 必有界.证设则由极限定义, 取时,即有则由数列有界的定义得：数列 xn 收敛, 则必有界.该定理的逆命题 不真, 即有界数列不 一定收敛. 例如, (1) n .有界性定理的推论：有界性定理的推论： 即 无界数列的极限不存在 .无界数列必发散无界数列必发散. .例13发散的数列不一定都无界 . 例如, (1) n .收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散 .发散的数列不一定无界.3.3.保号性定理保号性定理证由绝对值不等式的知识, 立即得a a 0 0 的的 情形类似可情形类似可 证证, , 由学生由学生 自己完成自己完成 . .保号性定理的推论保号性定理的推论1 1：这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号由保号性定理, 运用反证法证明保号性定理的推论保号性定理的推论2 2：在极限存在的前提下在极限存在的前提下, , 对不等式两边可以同对不等式两边可以同时取极限时取极限, , 不等号的方向不变不等号的方向不变, , 但严格不等号也但严格不等号也要改为不严格不等号要改为不严格不等号. . 作业： P39 1;2（1)（4); 7 (1) (2)
