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1、高考中的立体几何问题高考专题突破四考点自测课时作业题型分类 深度剖析内容索引考点自测解析 如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF，则EFA1B1，DFB1B，且EFDFF，A1B1B1BB1，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.12345解析答案1.在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为 A.相交 B.平行 C.垂直相交 D.不确定1245解析3答案2.设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：x，y，z均为直线；x，y是直线，z是平面；z是直线，x，y是平面；x，y，z均为平面.其中使“xz且yzx
2、y”为真命题的是 A. B. C. D.解析 由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性质定理可知为真命题.12453解析3.(2018届辽宁凌源二中联考)已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为 答案12453解析 结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，故选D.4.(2017天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是 A
3、. B. C. D. 解析答案1245312453解析 由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错.故选B.5.(2017沈阳调研)设，是三个平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：a，b ；a，b；b，a .如果命题“a，b ，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_.(把所有正确的序号填上)解析12453答案或解析 由线面平行的性质定理可知，正确；当b，a 时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确.故应填入的条件为或.题型
4、分类 深度剖析例1 (2018届衡水联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，ACBCCC12，点D为AB的中点.(1)证明：AC1平面B1CD；题型一 求简单几何体的表面积与体积证明证明 连接BC1交B1C于点O，连接OD.在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，点O是BC1的中点.点D为AB的中点，ODAC1.又OD 平面B1CD，AC1平面B1CD，AC1平面B1CD.解答(2)求三棱锥A1CDB1的体积.解 ACBC，ADBD，CDAB.在三棱柱ABCA1B1C1中，由AA1平面ABC，得平面ABB1A1平面ABC.又平面ABB1A1平
5、面ABCAB，CD 平面ABC，CD平面ABB1A1，ACBC，ACBC2，V三棱锥A CDB V三棱锥CA DB 111(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.思维维升华华解答跟踪训练1 (2018乌鲁木齐质检)正三棱锥的高为1，底面边长为 ，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：(1)这个正三棱锥的表面积；解答(2)这个
6、正三棱锥内切球的表面积与体积.解 设正三棱锥PABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.V三棱锥PABCV三棱锥OPABV三棱锥OPBCV三棱锥OPACV三棱锥OABC题型二 空间点、线、面的位置关系例2 (2017广州五校联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上.(1)求证：AD平面PBE；证明证明 由E是AD的中点，PAPD可得ADPE.因为底面ABCD是菱形，BAD60，所以ABBD，所以ADBE，又PEBEE，PE，BE 平面PBE，所以AD平面PBE.证明(2)若
7、Q是PC的中点，求证：PA平面BDQ；证明 连接AC，交BD于点O，连接OQ.因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQPA，又PA平面BDQ，OQ 平面BDQ，所以PA平面BDQ.解答解 设四棱锥PBCDE，QABCD的高分别为h1，h2.(1)平行问题的转化思维维升华华利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可
8、为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.证明跟踪训练2 如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：(1)平面EFG平面ABC；证明 由ASAB，AFSB知F为SB的中点，则EFAB，FGBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)BCSA.证明证明 由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF 平面SA
9、B，AFSB，所以AF平面SBC，则AFBC.又BCAB，AFABA，AF，AB 平面SAB，则BC平面SAB，又SA 平面SAB，因此BCSA.题型三 平面图形的翻折问题例3 五边形ANB1C1C是由一个梯形ANB1B与一个矩形BB1C1C组成的，如图甲所示，B为AC的中点，ACCC12AN8.沿虚线BB1将五边形ANB1C1C折成直二面角ABB1C，如图乙所示.证明(1)求证：平面BNC平面C1B1N；证明 四边形BB1C1C为矩形，故B1C1BB1，又由于二面角ABB1C为直二面角，故B1C1平面BB1A，又BN 平面BB1A，故B1C1BN，由线段ACCC12AN8知，BB1NB1BN
10、2，即BNNB1，又B1C1NB1B1，B1C1，NB1 平面NB1C1，所以BN平面C1B1N，因为BN 平面BNC，所以平面BNC平面C1B1N.22解答(2)求图乙中的多面体的体积.解 连接CN，过N作NMBB1，垂足为M，又B1C1平面ABB1N，所以平面CBB1C1平面ABB1N，且平面CBB1C1ABB1NBB1，NMBB1，NM 平面ABB1N，所以NM平面B1C1CB，平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.思维维升华华跟踪训练3 (2018届珠海摸底)为了迎接
11、某节日，商场进行促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形SEE，SFF，SGG，SHH，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒SEFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E重合，F与F重合，G与G重合，H与H重合(如图所示).(1)求证：平面SEG平面SFH；证明证明 折后A，B，C，D重合于一点O，拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，底面EFGH是正方形，故EGFH.连接SO.在原平面图形中，SEESGG，SESG，EGSO，EGFH，EGSO，FHSOO，FH，SO 平面SFH
12、，EG平面SFH，又EG 平面SEG，平面SEG平面SFH.解答(2)已知AE ，过O作OMSH交SH于点M，求cosEMO的值.由(1)知，EO平面SHF，又OM 平面SHF，EOOM.题型四 立体几何中的存在性问题例4 (2017北京昌平区统考)如图，在四棱锥PABCD中，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD，ABCD，ABAD，CD2AB2AD4.(1)求证：平面PCD平面PAD；证明证明 因为ABCD，ABAD，所以CDAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD.因为CD 平面PCD，所以平面PCD平面PAD.(2)求三棱锥PABC的体积；解答
13、解 取AD的中点O，连接PO.因为PAD为正三角形，所以POAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO 平面PAD，所以PO平面ABCD，所以PO为三棱锥PABC的高.因为PAD为正三角形，CD2AB2AD4，(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE平面PAD？若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由.解答解 在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE平面PAD.分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，所以EFPD.因为ABCD，CD2AB，所以ABFD，ABFD，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BFAD.因为BFEFF，ADPDD，所以平面
14、BEF平面PAD.因为BE 平面BEF，所以BE平面PAD.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.思维维升华华跟踪训练4 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，DCAB，PA1，AB2，PDBC(1)求证：平面PAD平面PCD；证明证明 ADAB，DCAB，DCAD.PA平面ABCD，DC 平面ABCD，DCPA.ADPAA，AD，PA 平面PAD，DC平面PAD.DC 平面PCD，平面PAD平面PCD.(2)试在棱PB上确定一点E，使截面AEC
15、把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为21.解答解 作EFAB于F点，在ABP中，PAAB，EFPA，EF平面ABCD.由VPDCEAV三棱锥EACB21，课时作业1.(2017北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 解析答案123456789解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱.由三视图可知正方体的棱长为2，123456789解析答案2.(2018沈阳模拟)如图所示，已知平面平面l，.A，B是直线l上的两点，C，D是平面内的两点，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一动点，且有APDBPC，则四棱锥PABCD体积的最大值是 123456789解析 由题意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因为
