第五章 控制系统的稳定性分析85681

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1、第五章控制系统的稳定性分析自动控制原理v5-1 系统稳定性的基本概念 v5-2 系统的稳定条件 v5-3 代数稳定判据 v5-4 乃奎斯特判据 v5-5 对数幅相频率特性的稳定判据 v5-6 控制系统的相对稳定性 v例题分析 v课后习题5-1 系统稳定性的基本概念如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消 后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否 则这个系统是不稳定的。控制系统稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随 着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则 称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。注意： 1. 稳定

2、性是系统自身的固有特性,它取决于系统本身的结构和 参数,而与输入无关；对于纯线性系统来说，系统的稳定与否不与初 始偏差的大小有关。如果，这个系统是稳定的，就叫做大范围稳定。 而经过线性化处理的系统都是“小偏差”稳定。 2. 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性 ,也就是说,是讨论输入为零,系统仅存在初始偏差不为零时的稳定性, 即讨论自由振荡是收敛还是发散的。5-2 系统的稳定条件设定常线性系统的微分方程为：式中 ，若记并对5.1作拉氏变换，得式中 为系统的传递函数。因为是在零初始条件下，有 则拉氏反变换，有由上式可知，若系统所有特征根的实部均为负值，即这样的系统就是稳定的。反之

3、，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入将随时 间的推移发散，即这样的系统是不稳定的。由此可得以下结论：1.控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程式的根全部 具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定 的充分必要条件也可以说成是闭环极点全部具有负实部，或说闭环传 递函数的极点全部在S平面的左半面。 2.如特征根相同上述结论仍成立。 3.判断稳定性的关键转变为研究系统的特征根是否具有正实部 。5-3 代数稳定判据一.劳斯判据 1.系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数都不等于零。 (2)特征方程的各项系数都不大于零。 2.系统稳定的充要条件: 设系统稳定的特

4、征方程式为劳斯判据给出的系统稳定的充分条件是：劳斯阵列中第一列所有项均 为正号。 劳斯阵列是将式的系数排成以下行和列，即为劳斯阵列：其中系数 等，根据下列公式计算：同样的方法可以计算c,d,e等各行的系数注意: 在展开的阵列中,为简化其后的数值计算,可用一个正整数去除 或乘某一个整行,并不影响稳定性结论。劳斯判据还说明：方程式 (5.4)中,其正实部特征根数,等于劳斯阵列中第一列的系数改变的 次数。 例 设控制系统的特征方程为试用劳斯判据判断其稳定性 解 首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排 劳斯阵列由劳斯阵列第一列可知，其系数出现负值，因此系统不稳定，并 且符号变化两次，所以有

5、两个正实部特征根。 3.二阶，三阶和四阶系统的劳斯判据 低阶系统的劳斯判据可以化简 (1)二阶系统, (2)三阶系统,各项系数大于零, (3)四阶系统,各项系数大于零, , 4.特殊情况 (1)如果在劳斯判据阵列中任意一行的第一个元素为零,可以用一 个很小的正数 来代替它 例 设控制系统的特征方程为用劳斯判据判断其稳定性解 由劳斯阵列符号改变一次符号改变一次由于劳斯阵列第一列元素的符号不一致,系统不稳定,并且符号改 变两次,所以有两个正实部特征根(2)劳斯阵列出现整排零 例 设控制系统的特征方程为试用劳斯判据判断其稳定性 解 计算劳斯阵列如下在此情况下,可用该行上一行的元素构造一个辅助多项式,

6、并利用这个 多项式方程的导数的系数组成劳斯阵列表中的下一行。利用辅助多项 式够成的辅助方程，解出特征根。 由此可得到辅助多项式由此可得到劳斯阵列从劳斯列表中可只，第一列为出现负数，说明系统在右半平面没 有特征根，但是， 行的各项元素为零，说明虚轴上有共轭虚根， 该根可由辅助方程求得：解该方程，求得系统的共轭虚根：故，系统处于零界稳定二 赫尔维茨判据 设系统特征方程为由其系数可得如下行列式系统稳定的充要条件是：主行列式 及对角线上个子行式 ，均大于零，即5-4 乃奎斯特判据应用乃奎斯特判据不需要求取闭环系统的特征根，而是应用分乃奎斯特判据不需要求取闭环系统的特征根，而是应用分 析法或频率特性实验

7、法获得开环特性析法或频率特性实验法获得开环特性 ，即，即 曲线，曲线， 进而分析闭环系统的稳定性。进而分析闭环系统的稳定性。特点：特点： (1) (1) 当系统某些环节的传递函数无法用分析法列写时，可以当系统某些环节的传递函数无法用分析法列写时，可以 通过试验来获得这些环节的频率曲线；整个系统的频率曲线也可用通过试验来获得这些环节的频率曲线；整个系统的频率曲线也可用 实验法来获得，这样就可系统闭环的稳定性；实验法来获得，这样就可系统闭环的稳定性； (2) (2) 与劳斯判据相同，不需要求特征方程的根；与劳斯判据相同，不需要求特征方程的根； (3) (3) 利用开环传递函数的乃氏图去判断闭环系统

8、的稳定性；利用开环传递函数的乃氏图去判断闭环系统的稳定性； (4) (4) 除判断稳定性外，还可以指出系统稳定储备除判断稳定性外，还可以指出系统稳定储备-相对稳定相对稳定 性。性。一 米哈依洛夫定理 定理：设n次多项式D(s)有p个零点在复平面的右半面，有q个 零点在原点上，其余n-p-q个零点位于左半面，则当s=jw代入 D(s)并命w从0连续增大 到 时,复数D(jw)的角增量应等于证明：方程为一次的情况下若根在左半平面，则命s=jw,可得 现命w由0增大到 ，从图可以看出角 的增量为若上式b为负值，则角增量为如图：若根在右半平面，其角增量如图所示，为现考虑n次多项式 ，且在原点有q个零点

9、，可表示为在左半平面中,对于每一个实零点(b=0)而言,角增量而对于每一对共轭复零点 而言,其中一个的角增量为另一个为所以一对共轭复零点总的角增量为而平均一个左半平面零点贡献的角增量为 ,总共有n-p-q个零点,它们 贡献的角增量为同理,所有右半平面的零点贡献的角增量为而在原点综上所述,D(s)的总角增量为推论:如果n次多项式D(s)的所有零点都位于复平面左半平面,则当 s=jw代入D(s)并命w从0增大到 时,复数D(s)的角连续增大二 乃奎斯特稳定判据 1 反馈系统开环和闭环的特征方程式该单位反馈系统的开环传递函数为闭环传递函数为令：F是新引进的函数，其分母是系统开环特征多项式，分子是闭环

10、特征 多项式。 对于非单位反馈系统，开环传递函数为2 乃奎斯特队稳定判据 (1) 若开环是稳定的,则根据米哈依洛夫定理如果闭环系统稳定,有于是从乃氏图上看,G(jw)不包围(-1,j0)点.稳定 不稳定(2) 若开环系统不稳定,有p个零点在右半平面,q的零点在原点,n-p- q个零点在左半平面 则如果闭环是稳定的,则故也就是说,对于一个稳定的系统而言,当w从0连续增大到 时,开环 传递函数在右半平面的每一个极点使 ；在原点处的 每一个极点使 。列 系统的开环传递函数为讨论开环增益K的大小对系 统稳定性的影响 解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部 位于左半s平面，因此是最小相位系统

11、。 作极坐标草图，先计算极限值：=0时，有时，有且增加时有依此作极坐标草图如图所示。判别当K小时，极坐标轨线围绕 （ -1, j0)点的角度增量为不包围(-1, j0)点，所以系统 是稳定的。当K大时，围绕(-1, j0)点的 角度增量为由于围绕(-1, j0)点转了-1圈 ，不等于零，所以系统不稳定 。3 关于G(s)中含有零极点的处理方法：当原点处存在开环极点时，其表达式为：。由于开环极点因子G(s)=1/s既不在左半s平面上，也不在右半 s平面上，当由0 变到时，原点处开环极点的幅角增量值是不定 的，因而不能应用幅角增量公式来计算。对于这种情况，可以认为原点处的开环极点属于左半s平面。在

12、 数学作如下处理：在s平面的s=0的邻域作一半径为无穷小的半圆绕 过原点，如下页图所示。这样，当由0增加到0+时，原点处就已经获得了+/2的增 量。相应地，作为复变函数G(s)=1/s，由复变函数的保角定理可 得，在G(j)平面上的无穷大半圆处也就获得-/2的幅角增量。因 此，可以在G(j)平面上的无穷大半圆处作增补线，如上页图所示 。得到相应的增补角为-/2。例：已知系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别系统的稳定性。 解：(1)作极坐标图=0时，有可以确定系统极坐标图的起点为 0-j时，有可以确定系统极坐标图的终点为 0+j0,即原点且增加时有依此作极坐标草图如图所示。（2）稳定性判别 当K

13、小时，不包围(-1, j0)点，所以系统是稳定的。 当K大时，由于围饶(-1, j0)点，所以系统不稳定结论：把零极点当作左半平面根处理，并且没有右半平面零极 点时，乃氏判据变为： (1) 若G(jw)曲线包围(-1,j0)点,系统不稳定。 (2) 若G(jw)曲线不包围(-1,j0)点,系统稳定。4.关于s平面上的乃氏轨迹的另一方案s平面上的乃氏轨迹还有另一取法,如下图:设在s平面上有封闭曲线L,其中 ,两段是由 到 的 整个虚轴组成的,段是半径R趋 向于无穷大的圆弧组成的。因此 ，段就包围了整个s 平面的右半平面。另外，在原点 附近，乃氏轨迹以原点为圆心， 以无穷小为半径的圆弧逆时针绕 过

14、原点。s平面这样取以后，乃氏图 发生了相应的变化，看下面两图此时，乃氏判据为(p为右半平面极点数)： (1) 当p=0,若开环乃氏图,不包围(-1,j0)点,则闭环系统稳定 (如右图);反之,不稳定(如左图)。 (2) 当p0,若开环乃氏图逆时针包围(-1,j0)点p圈,则系统 稳定；若逆时针包围(-1,j0)点不到p圈，或顺时针包围(-1,j0)点 ，则闭环系统不稳定。例如某系统的开环传递函数为p=2,其乃氏图逆时针包围(-1,j0)点2圈，故系统稳定。5-5 对数幅相频率特性的稳定判据对数幅相频率特性的稳定判据，实际上是乃氏稳定判据的另一种 形式。即利用开环的伯德图来判断系统的稳定性，而伯

15、德图又可以通 过实验获得，因此在工程上得到了广泛应用。 一、对数幅相频率特性的稳定判据的原理：对数幅相频率特性的稳定判据的原理：根据乃氏稳定判据，利用系统开环乃氏图与单位圆及实轴的两个 交点在伯德图上的反映来判断系统的稳定性 首先，来看系统乃氏图的稳定情况：二、对数幅相频率特性的稳定判据对数幅相频率特性的稳定判据 1.如果开环是稳定的，且在L(w)=0的所有角频率w值下，相 角范围大于-线，那么，系统是稳定的。例：2. 对数幅相频率特性稳定性判据的普遍情况：如果系统在开环状态下的特征方程有p个根在右半平面内，它 在闭环状态下稳定的充分必要条件是：在所有L(w)=0的频率范 围内，相频特性曲线(w)在(-)线上的正负穿越之差为p/2次。正穿越：当乃氏图从大于-的第二象限越过负实轴到三象限时 ，叫正穿越；负穿越：当乃氏图从大于-的第三象限越过负实轴到二象限时 ，叫正穿越；半次正穿越：w=0时，(0)=-，乃氏图向第三象限去时， 叫半次正穿越。正,负穿越半次正穿越例：判断