《高中数学人教a版数学2-3高中数学选修2-3第一章第二节1.2.2组合》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教a版数学2-3高中数学选修2-3第一章第二节1.2.2组合（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、122 组合教学目标： 知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系 与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m nA与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。 情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：组合的概念和组合数公式奎屯王新敞新疆教学难点：组合的概念和组合数公式奎屯王新敞新疆授课类型：新授课 奎屯王新敞新疆课时安排：2 课时 奎屯王新敞新疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎屯王新敞新疆内容分析： 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排
2、成一排或并成一一组，并求有多少 种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题， 与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定 义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛 在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合 问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思
3、考：首先要考虑如何选出符合题 意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度 考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据 具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、 知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程. 据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不 上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很 可能是有悖
4、于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实 际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题. 久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程： 一、复习引入：1奎屯王新敞新疆分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，在第 n 类办法中有nm种不同的方法奎屯王新敞新疆那么完成这件事共有 12nNmmm种不同的方法奎屯王新敞新疆2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，做第 n
5、 步有nm种不同的方法，那么完成这件事m nC有12nNmmm种不同的方法 奎屯王新敞新疆3排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相 同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列奎屯王新敞新疆4排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号m nA表示奎屯王新敞新疆5排列数公式：(1)(2)(1)m nAn nnnm（,m nNmn）6奎屯王新敞新疆阶乘：!n表示正整数 1 到n的连乘积，叫做n的阶乘奎屯王新敞新疆规定0! 17排列数的另一个计算公式：m nA=! ()!n
6、 nm奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆8.提出问题： 示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上 午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例 1 中不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列” ，而示例 2 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的奎屯王新敞新疆引出课题：组合奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1奎屯王新敞新疆组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合奎屯
7、王新敞新疆说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同奎屯王新敞新疆例 1判断下列问题是组合还是排列 （1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少 种不同的飞机票价？ （2）高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？ （3）从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同 的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫
8、相同的组合2组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数用符号m nC表示3组合数公式的推导：（1）从 4 个不同元素, , ,a b c d中取出 3 个元素的组合数3 4C是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数3 4A可以求得，故我们可以考察一下3 4C和3 4A的关系，如下：组 合 排列dcbcdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,由此可知,每一个组合都对应
9、着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数3 4A，可以分如下两步： 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有3 4C个； 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有3 3A种方法由分步计数原理得：3 4A3 4C3 3A，所以，3 33 43 4AAC （2）推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数m nA，可以分如下两步： 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数m nC； 求每一个组合中 m 个元素全排列数m mA，根据分步计数原理得：m nAm nCm mA（3）组合数的公式：(1)(2)(1) !m mn n
10、m mAn nnnmCAm或)!( ! mnmnCm n),(nmNmn且奎屯王新敞新疆规定: 01nC.三、讲解范例：例 2用计算器计算7 10C解：由计算器可得例 3计算：（1）4 7C； （2）7 10C； （1）解： 4 77 6 5 4 4!C 35；（2）解法 1：7 1010 9 8 7 6 5 4 7!C 120解法 2：7 1010!10 9 8 7!3!3!C 120例 4求证：11m nm nCmnmC 证明：)!( ! mnmnCm n111! (1)!(1)!m nmmnCnmnmmnm1! (1)! ()(1)!mn mnm nm! !()!n m nm11m nm
11、 nCmnmC例 5设, Nx求32 11 32 x xx xCC的值奎屯王新敞新疆解：由题意可得： 321132 xxxx，解得24x，xN， 2x 或3x 或4x ，当2x 时原式值为 7；当3x 时原式值为 7；当4x 时原式值为 11所求值为 4 或 7 或 11 例 6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足 球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11 人问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这 件事情？ 分析：对于（1)，根据题意
12、，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余 上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题 解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C 手 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情：第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有11 17C种选法；第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有1 11C种选法所以教练员做这件事情的方法数有111 1711CC=136136（种）.例 7 （1）平面内有 10 个
13、点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中 取出 2 个元素的组合数，即线段共有2 1010 9451 2C（条）.(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内 10 个点中每 2 个 点为端点的有向线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段 共有2 1010 990A（条）.例 8在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件
14、 . (1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有3 100100 99 98 1 2 3C = 161700 （种）.(2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有1 2C种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有2 98C种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12 298C C=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次
15、品和有 2 件次品两种情况在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有12 298C C种，因此根据分类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有12 298C C+21 298C C=9 604 （种） . 解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件 的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即33 10098CC=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。 变式：按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多 2 人当选； （6）甲、乙、丙三人至少 1 人当选； 例 9 （1）6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？解：902 22 42 6CCC（2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有 2
