《高中数学人教a版数学2-3高中数学选修2-3第一章第二节1.2.2组合》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学人教a版数学2-3高中数学选修2-3第一章第二节1.2.2组合(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、122 组合教学目标: 知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系 与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数m nA与组合数 之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算。 情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。 教学重点:组合的概念和组合数公式奎屯王新敞新疆教学难点:组合的概念和组合数公式奎屯王新敞新疆授课类型:新授课 奎屯王新敞新疆课时安排:2 课时 奎屯王新敞新疆教 具:多媒体、实物投影仪 奎屯王新敞新疆内容分析: 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排
2、成一排或并成一一组,并求有多少 种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题, 与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定 义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学的真谛 在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合 问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思
3、考:首先要考虑如何选出符合题 意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队,即第一步仅从组合的角度 考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据 具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、 知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程. 据笔者观察,有些同学之所以学习中感到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不 上,而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很 可能是有悖
4、于常理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实 际情况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说明问题. 久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程: 一、复习引入:1奎屯王新敞新疆分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有1m种不同的方法,在第二类办法中有2m种不同的方法,在第 n 类办法中有nm种不同的方法奎屯王新敞新疆那么完成这件事共有 12nNmmm种不同的方法奎屯王新敞新疆2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有1m种不同的方法,做第二步有2m种不同的方法,做第 n
5、 步有nm种不同的方法,那么完成这件事m nC有12nNmmm种不同的方法 奎屯王新敞新疆3排列的概念:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素(这里的被取元素各不相 同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列奎屯王新敞新疆4排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号m nA表示奎屯王新敞新疆5排列数公式:(1)(2)(1)m nAn nnnm(,m nNmn)6奎屯王新敞新疆阶乘:!n表示正整数 1 到n的连乘积,叫做n的阶乘奎屯王新敞新疆规定0! 17排列数的另一个计算公式:m nA=! ()!n
6、 nm奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆8.提出问题: 示例 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上 午的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 示例 2:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例 1 中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定的顺序“排列” ,而示例 2 只要求选出 2 名同学,是与顺序无关的奎屯王新敞新疆引出课题:组合奎屯王新敞新疆二、讲解新课:1奎屯王新敞新疆组合的概念:一般地,从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合奎屯
7、王新敞新疆说明:不同元素;“只取不排”无序性;相同组合:元素相同奎屯王新敞新疆例 1判断下列问题是组合还是排列 (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少 种不同的飞机票价? (2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同 的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? (4)10 个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10 个人互通电话一次,共多少个电话? 问题:(1)1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗? (2)什么样的两个组合就叫
8、相同的组合2组合数的概念:从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数用符号m nC表示3组合数公式的推导:(1)从 4 个不同元素, , ,a b c d中取出 3 个元素的组合数3 4C是多少呢?启发:由于排列是先组合再排列,而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数3 4A可以求得,故我们可以考察一下3 4C和3 4A的关系,如下:组 合 排列dcbcdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,由此可知,每一个组合都对应
9、着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数3 4A,可以分如下两步: 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,共有3 4C个; 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列,各有3 3A种方法由分步计数原理得:3 4A3 4C3 3A,所以,3 33 43 4AAC (2)推广:一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数m nA,可以分如下两步: 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数m nC; 求每一个组合中 m 个元素全排列数m mA,根据分步计数原理得:m nAm nCm mA(3)组合数的公式:(1)(2)(1) !m mn n
10、m mAn nnnmCAm或)!( ! mnmnCm n),(nmNmn且奎屯王新敞新疆规定: 01nC.三、讲解范例:例 2用计算器计算7 10C解:由计算器可得例 3计算:(1)4 7C; (2)7 10C; (1)解: 4 77 6 5 4 4!C 35;(2)解法 1:7 1010 9 8 7 6 5 4 7!C 120解法 2:7 1010!10 9 8 7!3!3!C 120例 4求证:11m nm nCmnmC 证明:)!( ! mnmnCm n111! (1)!(1)!m nmmnCnmnmmnm1! (1)! ()(1)!mn mnm nm! !()!n m nm11m nm
11、 nCmnmC例 5设, Nx求32 11 32 x xx xCC的值奎屯王新敞新疆解:由题意可得: 321132 xxxx,解得24x,xN, 2x 或3x 或4x ,当2x 时原式值为 7;当3x 时原式值为 7;当4x 时原式值为 11所求值为 4 或 7 或 11 例 6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛按照足 球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是 11 人问:(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这 件事情? 分析:对于(1),根据题意
12、,17 名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余 上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题 解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C 手 12 376 (种) . (2)教练员可以分两步完成这件事情:第 1 步,从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组,共有11 17C种选法;第 2 步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有1 11C种选法所以教练员做这件事情的方法数有111 1711CC=136136(种).例 7 (1)平面内有 10 个
13、点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条? (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条? 解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从 10 个不同的元素中 取出 2 个元素的组合数,即线段共有2 1010 9451 2C(条).(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内 10 个点中每 2 个 点为端点的有向线段的条数,就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数,即有向线段 共有2 1010 990A(条).例 8在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件
14、 . (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种? 解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数,所以共有3 100100 99 98 1 2 3C = 161700 (种).(2)从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有1 2C种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有2 98C种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12 298C C=9506(种). (3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,包括有 1 件次
15、品和有 2 件次品两种情况在第(2)小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有12 298C C种,因此根据分类加法计数原理,抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有12 298C C+21 298C C=9 604 (种) . 解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数,也就是从 100 件中抽出 3 件 的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数,即33 10098CC=161 700-152 096 = 9 604 (种). 说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。 变式:按下列条件,从 12 人中选出 5 人,有多少种不同选法? (1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选;(3)甲必须当选,乙、丙不能当选; (4)甲、乙、丙三人只有一人当选; (5)甲、乙、丙三人至多 2 人当选; (6)甲、乙、丙三人至少 1 人当选; 例 9 (1)6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有多少种不同的分法?解:902 22 42 6CCC(2)从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议,要求至少有 2