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1、学号：学号：200620449200620449哈尔滨师范大学哈尔滨师范大学 学士学位论文学士学位论文题题 目目 浅议距离与离差浅议距离与离差学学 生生 郭郭 帅帅指导教师指导教师 佟盛林佟盛林年年 级级 20062006 级级专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学系系 别别 数学系数学系学学 院院 文理学院文理学院学学 士士 学学 位位 论论 文文题题 目目 浅议距离与离差浅议距离与离差学学 生生 郭郭 帅帅 指导教师指导教师 佟盛林佟盛林年年 级级 20062006 级级专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学系系 别别 数学系数学系学学 院院 文理学院文理学院哈尔滨师范大学2010 年
2、 4 月目目 录录摘要 .1关键字 .11.点到点的距离 .12.点到直线的距离 .12.1 平面内点到直线距离的概念及判定 .12.2 平面内点到直线距离的求法 .12.3 空间内点到直线距离的计算 .13.点与平面间的距离 .23.1 离差的定义及点到平面的距离定义 .33.2 点与平面位置关系的判定 .33.3 点到平面距离的计算 .33.4 平面划分空间问题 三元一次不等式的几何意义 .34.直线到直线的距离 .44.1 空间两直线的相关位置的判定 .44.2 空间直线间距离的计算 .55.平面到平面的距离 .65.1 平面间的位置关系的判别 .65.2 平面间距离的计算 .7结束语
3、.7参考文献 .8英文摘要 .90浅议距离与离差郭帅 摘要摘要：总结平面及空间内点、直线、平面间的距离求法，并浅议距离和离差的关系. 关键字关键字：距离; 离差; 空间内直线1. .点到点的距离点到点的距离对于点到点的距离可以分成两种状态考虑，即平面内点到点的距离和空间内点到 的 距离.定理 1 在平面内两点与间的距离为111( ,)P x y222(,)P xy22 2121()()dxxyy在空间两点与间的距离是1111( ,)P x y z2222(,)P xyz222 212121()()()dxxyyzz2.2.点到直线的距离点到直线的距离2.1 平面内点到直线距离的概念及判定平面内
4、点到直线距离的定义为，过点向直线做垂线，垂线段的长度就叫做点到直 线的距离。 若点满足直线方程。则点在直线上，若点不满足直线方程则点在直线外2.2 平面内点到直线距离的求法平面直线与点的相关位置有两种情况，即在直线上和不再直线上，在直线上时距 离为零； 不再直线上时可根据高中时学习过的点到直线距离公式求解，平面内点到直线的距离为00(,)M xy0AxByC0022AxByCd AB 2.3 空间内点到直线距离的计算 空间直线与点的相关位置有两种情况，即点在直线上与点不再直线上，点在直线上的 条件是点的坐标满足直线方程，这是点与直线的距离为零1当点不在直线上时，在空间直角坐标系下给定空间一点与
5、直线0000(,)Mxyz111:xxyyzzlXYZ这里为直线 上的点，为直线 的方向矢量。我们考虑和1111( ,)Mx y zl, ,vx y zlv矢量为两边构成的平行四边形，这个平行四边形的面积等于，显然10M Muuuuuu r10vM Muuuuuu r点到 的距离就是这平行四边形的对应于为底的高0Mldv因此我们有10vM M dv uuuuuu r222 010101010101222yyzzzzxxxxyyYZZXXYXYZ 例 1 求点到直线的距离(2,3, 1)P220 322170xyz xyz 解 将直线方程化为标准方程 1125:212xyzl令，解 00y 22
6、3032170xzxz得11,25xz 10222 0101010101012221vM M dvyyzzzzxxxxyyYZZXXYXYZ uuuuuu r3.3.点与平面间的距离点与平面间的距离 23.1 离差的定义及点到平面的距离定义 在求点与平面间距离之前，我们先引进点关于平面离差的概念定义 如果自点到平面引垂线，其垂足为 Q，那么矢量在平面的单0M0QMuuuuu r位法矢量上的射影叫做点与平面间的离差， 记做0n0M00nQMuuuuu r射影那么，有如下定理 2 点与平面 间的离差为0M0 00nrp0 0nrp这里00rOMuuuuu r推论 1 点与平面 间的距离的离0000
7、(,)Mxyzcoscoscos0xyzp差是000coscoscosxyzp显然，离差的绝对值，就是点与平面之间的距离。0Md3.2 点与平面位置关系的判定容易看出，空间的点与平面间的离差。当且仅当点位于平面的单位法矢量0M所指向的一侧，与同向，离差0;在平面的另一侧，与方0n0QMuuuuu r0n0QMuuuuu r0n向相反，离差;对于另一部分点，则有,AxByCzD0AxByCzD0在平面上的点0AxByCzD4.直线到直线的距离4.1 空间两直线的相关位置的判定空间两直线的相关位置有异面与共面，在共面中又有相交 平行于重合三种情况， 现在我们来导出这些相关位置成立的条件. 设两个直
8、线的方程为：111 1 111:xxyyzzlXYZ222 2 222:xxyyzzlXYZ 定理 4 判定空间两直线与的相关位置的充要条件为1异面：；2121211112220xxyyzz XYZ XYZ 2相交：；0, 111222:XYZXYZ3平行： 4111222:XYZXYZ；212121():():()xxyyzz4重合111222:XYZXYZ；212121():():()xxyyzz4.2 空间直线间距离的计算 1.特殊情况时两直线间间距离 空间两直线上的点之间的最短距离叫做这两条直线之间的距离 显然，两条相交或重合的直线间距离等于零； 两平行直线间的距离等于其中中一条直线的任意一点到另一条直线的距离（在点 到直线的距离一节中研究） 。 2.两直线异面时距离 公垂线的定义：同时与两条异面直线垂直而且相交的直线只有一条，这条直线我
