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1、 拉普拉斯变换(Laplace变换 )拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的应用在数学中，为了把较复杂的运算转化 为较简单的运算，常常采用一种变换手段.所谓积分变换，就是通过积分运算把 一个函数变成另一个函数的变换。积分变 换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶 （Fourier）变换。这里只研究Laplace变换 ，讨论他的定义、性质及其应用。一、拉普拉斯变换的概念以时间t为自变量的函数 ，它的定义域是则积分式拉普拉斯变换（ 是一个复变量） 称上式为函数 的拉普拉斯变换式 叫做的拉氏变换,称为象函数.叫做的拉氏逆变换,称为原函数,= （2） 在 的任一有限区间
2、上连续或分段连续； （1） 时, 一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是二、拉普拉斯变换存在定理（3）拉普拉斯变换例1 求单位阶跃函数 的拉氏变换 解 三、一些常用函数的拉普拉斯变换 即根据定义拉普拉斯变换解 例2 求单位脉冲函数 的拉氏变换 即根据定义拉普拉斯变换例3 求指数函数 的拉氏变换 解：根据定义即拉普拉斯变换四、拉普拉斯变换的性质 1. 线性性质 齐次性：设 则拉普拉斯变换的性质拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性叠加性：设则2.微分定理设可得各阶导数的拉氏变换为拉普拉斯变换的性质特别地,当时,拉普拉斯变换的性质3.积分定理设原函数 积分的拉氏变换为:拉普拉斯变换的性质4.时滞定理
3、设平移函数的拉氏变换拉普拉斯变换的性质若 且 存在5.初值定理则6.终值定理若 ， 且 的所有极点全部在s平面的左半部。则 的稳态值拉普拉斯变换的性质例4.应用初值定理求 的原函数 的初始值解：（1）求（2）求拉普拉斯变换的性质五. 拉普拉斯逆变换根据拉普拉斯变换的定义 右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函 数的积分,但计算比较麻烦. 对于绝大多数控制系统，是按照下面方法求拉氏 逆变换的。五. 拉普拉斯逆变换设（1）只包含不相同极点时的逆变换因为各极点均互不相同，因此 可分解成为诸分 式之和五. 拉普拉斯逆变换式中， 为常数，称为 的留数。即各项系数求出后，可按下式求原函数五. 拉普拉斯
4、逆变换例5.求下列函数的拉氏逆变换。已知 ，求解：式中，五. 拉普拉斯逆变换（2）包含共轭复极点时的逆变换如果 有一对共轭复极点，则可以利用下面的 展开式简化运算。设 为共轭复极点式中， 的计算可根据五. 拉普拉斯逆变换例6.求解：确定各待定系数得五. 拉普拉斯逆变换（3）包含有 个重极点时的逆变换将上式展开成部分分式五. 拉普拉斯逆变换上式中，五. 拉普拉斯逆变换例7.求解：五. 拉普拉斯逆变换六.常系数线性微分方程的拉普拉斯变换 解法利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本 步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质, 对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把 微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程 （或方程组）的解.应用例8 求微分方程 满足初始条件 的解 解： 设对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得解得所以应用
