《河南专升本高数第二章(云飞)版常考点及重点详解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河南专升本高数第二章(云飞)版常考点及重点详解（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河南豫升（云飞）专升本高数教材河南豫升（云飞）专升本高数教材第二章知识点讲解第二章知识点讲解I、利用导数的定义，求极限或导数、利用导数的定义，求极限或导数（一）函数在一点处的导数的定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量( )yf x0xx0x（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量x0xx；如果与之比当时的极限存在，则称00()()yf xxf x yx0x 函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，( )yf x0x( )yf x0x记为，即0()fx，00 000()()()limlim xxf xxf xyfxxx 也可记作，或0x xy 0x xdy dx0( )
2、x xdf x dx说明：说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有和 ；式中的00 00()()()lim hf xhf xfxh00 0 0( )()()lim xxf xf xfxxx即自变量的增量hx（二）导函数上述定义是函数在一点处可导如果函数在开区间内的每点处( )yf xI都可导，就称函数在区间内可导这时，对于任一，都对应着( )f xIxI的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原( )f x来函数的导函数，记作，或显然，函数( )yf xy( )fxdy dx( )df x dx在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即( )f x0x0()fx( )fx0
3、xx00()( )x xfxfx（三）单侧导数（即左右导数）极限存在的充分必要条件是及hxfhxfh)()(lim 0hxfhxfh)()(lim 0都存在且相等hxfhxfh)()(lim 0f(x)在处的左导数 0xhxfhxfxf h)()(lim)( 00 f(x)在处的右导数 0xhxfhxfxf h)()(lim)( 00 导数与左右导数的关系导数与左右导数的关系 函数 f(x)在点 x0处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x0) 和右导数 f (x0)都存在且相等 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在 就说 f(x)
4、有闭区间a, b上可导（四）函数可导性与连续性的关系如果函数在点处可导，则在点处必连续，但反之不( )yf x0x( )f x0x一定成立，即函数在点处连续，它在该点不一定可导( )yf x0x例例 1 以下各题中均假定存在，指出表示什么0()fxA（1） （2）设，其中，000()()lim xf xxf xAx 0( )lim xf xAx(0)0f且存在 （3）(0)f 000()()lim hf xhf xhAh解：（1）根据导数的定义式，因时，故0x 0x ，0000 000()()()()limlim() xxf xxf xf xxf xfxxx 即 0()Afx （2）解：因，且
5、存在，故(0)0f(0)f ，即 00( )( )(0)limlim(0)0xxf xf xffxx(0)Af （3）解：根据导数的定义式，因时，故0h 0h 00000000()()()()()()limlim hhf xhf xhf xhf xf xf xh hh00000()() ()()lim hf xhf xf xhf x h000000()()()()limlim hhf xhf xf xhf x hh，即 000()()2()fxfxfx02()Afx例例 2 讨论函数 在处的可导性21sin,0( ) 0,0xxf xx x 0x 解：因 ，20001sin0( )(0)1(0
6、)limlimlim sin00xxxxf xfxfxxxx故函数在处可导( )f x0x 例例 3 已知函数 在处连续且可导，求常数和2,1( ),1xxf xaxbx1x a的值b解：由连续性，因，(1)1f211(1 )lim( )lim1 xxff xx，从而 11(1 )lim( )lim() xxff xaxbab1ab再由可导性，2111( )(1)1(1)limlimlim(1)211xxxf xfxfxxx，而由可得，代入 11( )(1)1(1)limlim11xxf xfaxbfxx1ba ，得，再由可(1)f 11( )(1)(1)limlim11xxf xfaxafa
7、xx(1)(1)ff得，代入式得2a 1b 例例 4 函数，在点处（ ）( )f xx0x ( )f x（A）可导 （B）间断 （C）连续不可导 （D）连续可导解：由的图象可知，在点处连续但不可导，选项（C）( )f xx( )f x0x 正确说明：说明：的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得( )f xxII、简单函数求高阶导数、简单函数求高阶导数一般的，函数的导数仍然是的函数我们把( )yf x( )yfxx的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即或( )yfx( )yf xy22d y dx()yy 相应地，把的导数叫做函数的一阶22d yddy dxdx dx( )yf x( )f
8、x( )yf x导数类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，一般的，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作(1)nn， 或 ， y(4)y( )ny33d y dx44d y dxnnd y dx函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导如果函数( )yf xn( )f xn在点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低( )f xxn( )f xx于阶的导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数n例例 1 设，则（ ）lnyx( )ny（A） （B）( 1)!nnn x2( 1) (1)!nnnx（C） （D）1( 1)(1)!nnnx11( 1)!nnn x 解：由可得，ln
9、yx1yx 21yx 433222!xyxxx ，对比可知，选项（C）正确2 (4) 642 33!xyxx III、参数方程求导、参数方程求导一般地，若参数方程 确定是的函数，则称此函数关系所表达( )( )xtyt yx的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为 ，上式也可写成 ( ) ( )dyt dxt dy dydt dxdx dt其二阶导函数公式为 （专升本考试的题目中最多出到二阶221d yddy dxdxdtdx dt导数）例例 1 已知，求 2ttxe ye dy dx解： 21 222tttttdy edyedt dxdxeeedt 例例 2 已知，求1 11xt tyt
10、dy dx解： 221 11111 11tttdy tdytdt dxdx dttt IV、隐函数求导、求微分、隐函数求导、求微分（一）函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定( , )0F x y ( , )0F x y 了一个函数关系，则称是由方程所确定的隐函数( )yf x( )yf x( , )0F x y 形式隐函数的求导方法主要有以下两种：1方程两边对求导，求导时要把看作中间变量。xy2一元隐函数存在定理 （第八章会讲到）（第八章会讲到） 。xyFdy dxF （二）微分的相关知识：可导函数在点处的微分为( )yf x0x；可导函数在任意一点处的微分为00()x xdyfx dx
11、( )yf xx( )dyfx dx可导与可微的关系：函数在点处可微的充分必要条件是( )yf xx在点处可导，即可微必可导，可导必可微( )yf xx例例 1 求由方程所确定的隐函数的导数0yexyedy dx方法一：解：方程两边分别对求导， ，x()(0)y xxexye 得 ， 从而 0ydydyeyxdxdxydyy dxxe 方法二：解：设 ，( , )yF x yexye则 ()()yx yyyexyeFdyyx dxFexexyey V、复合函数求导数、求微分、复合函数求导数、求微分（一）复合函数的导数：设，而且及都可导，则复( )yf u( )ug x( )f u( )g x合
12、函数的导数为 或 ( )yf g xdydy du dxdu dx( )( )( )y xfug x求一个显函数的导数需要用到的知识点：基本初等函数导数；导数四则运算法则；复合函数与反函数求导法则。（二）复合函数的微分法则：设及都可导，则复合函数( )yf u( )ug x的微分为 由于，所以复 ( )yf g x( )( )xdyy dxf u g x dx( )g x dxdu合函数的微分公式也可写成 或 ( )yf g x( )dyf u duudyy du由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不u( )dyf u du变这一性质称为微分形式的不变性该性质表明，当变换自变量时，
13、微分形式并不改变( )dyf u du例例 1 若可导，且，则（ ）( )f u(2 )xyfdy （A） （B）(2 )xfdx(2 ) 2xxfd（C） （D） (2 )2xxfd (2 )2xxfdx解：因，故选项（B）正确(2 )(2 ) 2(2 )2 ln2xxxxxdydffdfdx例例 2 已知函数可导，求函数的导数( )yf x1 sin()xyf edy dx解：111 sinsinsin()() ()xxxdydf ef eedxdx11 sinsin1()()sinxxf eex1111 sinsinsinsin 22coscos()()sinsinxxxxxxf eeef exx VI、幂指函数求导、求微分、幂指函数求导、求微分一般地，对于形如（，）的函数，通常称为幂( )( )v xu x( )0u x ( )1u x 指函数对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：（一）复合函数求导法将幂指函数利用指数函数和对数函数的性质化为的形式，( )( )v xu x( )ln ( )v xu xe然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的恢复为( )ln ( )v xu xe的形式( )( )v xu x（二）对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求对的导数yx例例 1
