量子力学基础[1]

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1、1第一章第一章量子力学基础量子力学基础一、教学目的： 通过本章学习，掌握微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设，并初步 学习运用薛定谔方程去分析和计算势箱中粒子运动的有关问题: 二、教学内容： 1、微观粒子的运动特征黑体辐射和能量量子化；光电效应和光子学说；实物粒子的波粒二相性； 不确定关系； 2、量子力学基本假设波函数和微观粒子的状态；物理量和算符；本征态、本征值和薛定谔方程； 态叠加原理；泡利原理； 3、箱中粒子的薛定谔方程及其解 三、教学重点 微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设 四、教学难点： 量子力学的基本假设 五、教学方法及手段课堂教学 六、课时分配： 微观粒子的运动特征 2 学

2、时 量子力学基本假设 4 学时 箱中粒子的薛定谔方程及其解 2 学时 七、课外作业课本 p2021 八、自学内容1-1 微观粒子的运动特征微观粒子的运动特征1900年以前，物理学的发展处于经典物理学阶段（由Newton的经典力学，Maxwell的的电磁场理论，Gibbs的热力学和Boltzmann的统计物理学） ，这些理论构成一个相当完善的体系，对当时常见的物理现象都可以从中得到说明。在经典物理学取得上述成就的同时，通过实验又发现了一些新现象，它们是经典物理学无法解释的。如黑体辐射、光电效应、电子波性等实验现象，说明微观粒子具有其不同于宏观物体的运动特征。电子、原子、分子和光子等微观粒子，它们

3、表现的行为在一些场合显示粒性，在另一些场合又显示波性，即具有波粒二象性的运动特征。人们对这种波粒二象性的认识是和本世纪物理学的发展密切联系的，是二十世纪初期二十多年自然科学发展的集中体现。1.1.1黑体辐射和能量量子化黑体辐射和能量量子化普朗克（普朗克（planck）的量子假说：量子说）的量子假说：量子说的起源的起源2黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长的光，同时也能在同样条件下发射最大量各种波长光的物体。带有一个微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射，使射入的辐射全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。若以E表示黑体辐射的能

4、量，Ed表示频率在到+d范围内、单位时间、单位表面积上辐射的能量。以E对作图，得到能量分布曲线。由图中不同温度的曲线可见，随着温度（T）的增加，E的极大值向高频移动。一、经典解释许多物理学家试图用经典热力学和统计力学理论来解释此现象。其中比较好的有Rayleigh-Jeans（瑞利-金斯）把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，得到辐射强度公式，它和实验结果比较，在长波处很接近实验曲线，而在短波长处与实验显著不符。另一位是Wein（维恩） ，他假设辐射按波长分布类似于Maxwell的分子速率分布，所得公式在短波处与实验比较接近，但长波处与实验曲线相差很大。二、量子解释1900年，普朗

5、克(M. Planck)根据这一实验事实，突破了传统物理观念的束缚，提出了量子化假设：（1）黑体内分子、原子作简谐振动，这种作简谐振动的分子、原子称谐振子，黑体是有不同频率的谐振子组成。每个谐振子的的能量只能取某一最小的能量单位的整数倍，被称为能量子，它正比于振子频率=h，h为普朗克常数（h=6.62610-27erg.sec=6.62610-34J.s） 。E=n，=h 为谐振子的频率，h为planck常数 （2）谐振子的能量变化不连续，能量变化是的整数倍。E=n2-n1=（n2-n1）3它只能发射或吸收频率为、数值为h的整数倍的电磁能，即发射的能量可以等于0 h，1 h，2 h，nh (为

6、整数)等。它们出现的几率之比为：1：exp(-h/kT)：exp(-2h/kT): exp(-nh/kT)。因此频率为的振动的平均能量为由此可得单位时间、单位表面积上辐射的能量用此公式计算E值，与实验观察到的黑体辐射非常吻合。式中k是Boltzmann常数；T是绝对温度；c是光速；h称为Planck常数，将此式和观察到的曲线拟合，得到h的数值，目前测得h662610-34Js。普朗克的假说成功地解释了黑体辐射实验。普朗克提出的能量量子化的概念和经典物理学是不相容的，因为经典物理学认为谐振子的能量由振幅决定，而振幅是可以连续变化的 ，并不受限制，因此能量可以连续地取任意数值，而不受量子化的限制。

7、普朗克(M. Planck)能量量子化假设的提出，标志着量子理论的诞生。普朗克(M. Planck)是在黑体辐射这个特殊的场合中引入了能量量子化的概念，此后，在1900-1926年间，人们逐渐地把能量量子化的概念推广到所有微观体系。1.1.2 光电效应和光子学说光电效应和光子学说Einstein的光子学说的光子学说一、光电效应19世纪80年代发现了光电效应。光电效应是光照在金属表面上，金属发射出电子的现象。金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子，由光电子组成的电流叫光电流。实验事实是：（1）在有两个电极的真空玻璃管，两极分别加上正负电压。当光照在正极上，没有电流产生；而当光照在负

8、极上则产生电流，电流强度与光的强度成正比。（2）对于一定的金属电极，仅当入射光的频率大于某一频率时0时才有电流产生，0称为临阈频率，不同金属的0不同4（3）由光电效应产生的电子动能仅随光的频率增大而增加而与光的强度无关。（4）入射光照射到金属表面，立即有电子逸出，二者几乎无时间差。对于上述实验事实，应用经典的电磁波理论得到的是相反的结论。根据光波的经典图象，波的能量与它的强度成正比，而与频率无关。因此只要有足够的强度，任何频率的光都能产生光电效应，而电子的动能将随着光强的增加而增加，与光的频率无关，这些经典物理学家的推测与实验事实不符。二、光电效应的量子解释首先认识到Planck能量量子化重要

9、性的是Einstein（爱因斯坦） ，他将能量量子化的概念应用于电磁辐射，并用以解释光电效应。1905年爱因斯坦（A. Einstein）依据普朗克的能量子的思想，提出了光子说，圆满地解释了光电效应。其要点是：（1）光的能量是量子化的，最小能量单位是=h，称为光子。（2）光为一束以光速c运动的光子流，光的强度正比于光子的密度（为单位体元内光子的数目） 。（3）光子具有质量m，根据相对论原理光子质量m= h/c2（4）光子有动量PP = mc = h/ c =h/（5）光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒。2 021mhEWhk将频率为的光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一个光子撞击时，产

10、生光电效应，光子消失，并把它的能量hv转移给电子。电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余则表现出光电子的动能。上式中的W是电子逸出金属所需的最少能量，称脱出功，它等于hvo，Ek是自由电子的动能，它等于m2/2。当hvW时,从金属中发射的电子具有一定的动能,它随频率的增加而增加,与光强无关。但增加光的强度可增加光束中单位体积内的光子数，因而增加发射电子的速率。只有把光看成是由光子组成的才能理解光电效应，而只有把光看成波才能解释衍射和干涉现象，即光表现出波粒二象性，在一些场合光的行为像粒子，在另一些场合光的行为像波。=h和P=h/将光的波动性和粒子性联系在一起。51.1.3 实物微

11、粒的波粒二相性实物微粒的波粒二相性 一、德布罗依假说一、德布罗依假说实物粒子是指静止质量不为零的微观粒子（m00） 。如电子、质子、中子、原子、分子等。 1924年德布罗依（de Broglie）受到光的波粒二象性的启示，提出实物粒子也具有波粒二象性假设：式中，为物质波的波长，P为粒子的动量，h为普郎克常数, E为粒子能量， 物质波频率。 一切微观体系都是粒性和波性的对立统一体。两式具体揭示了波性和粒性的内在联系，等式左边体现粒性，右边体现波性，它们彼此联系，互相渗透，在一定条件下又可互相转化，构成矛盾对立的统一体。微观体系的这种波粒二象性是它们运动的本质特性。为粒子的运动速度。二、物质波的实

12、验证实二、物质波的实验证实1927年，戴维逊(Dawison)革末(Germer)用单晶体电子衍射实验，汤姆逊(G.P.Thomson)用多晶体电子衍射实验，发现电子入射到金属晶体上产生与光入射到晶体上同样产生衍射条纹，证实了德布罗意假说。电子运动速度由加速电子运动的电场电势差(v)决定，即由上式可知，若加速电压用1000 V，则所得波长为39pm，波长的数量级和x射线相近,普通光栅无法检验出它的波性，Davisson和Germer将被一定电势差加速到一定速度的电子束射到金属镍的单晶上，观察到完全类似于x射线衍射的性质，证实电子确实具有波性。后来采用中子、质子、氢原子和氦原子等微粒流，也同样观

13、察到衍射现象，充分证明了实物微粒具有波性，而不仅限于电子。例例1：（1）求以1.0106ms-1的速度运动的电子的波长。6mmvh10 63134 107100 . 1101 . 9106262. 6 这个波长相当于分子大小的数量级，说明分子和原子中电子运动的波动性显著的。（2）求m=1.010-3kg的宏观粒子以v=1.010-2ms-1的速度运动时的波长mmvh29 2334 106262. 6100 . 1101106262. 6 这个波长与粒子本身的大小相比太小，观察不到波动效应。例例2计算动能为300eV的电子的德布罗意波长.解: 已知常数 h=6.62610-27ergs，m=9.

14、1110-28g，1eV=1.60210-12erg由 m2pT2 2mTp 因此 2mTh ph =7.0810-9 (cm) 12282710602. 13001011. 9210626. 6三、实物微粒波性的物理意义三、实物微粒波性的物理意义实物微粒波的物理意义与机械波（水波、声波）和电磁波等不同，机械波是介质质点的振动，电磁波是电场和磁场的振动在空间的传播，而实物微粒波没有这种直接的物理意义。电子等实物微粒具有波性，实物微粒波代表什么物理意义呢？1926年，玻恩（Born）提出实物微粒波的统计解释空间任何一点上波空间任何一点上波的强度（即振幅绝对值的平方）和粒子出现的几率成正比的强度（

15、即振幅绝对值的平方）和粒子出现的几率成正比，按照这种解释描述的粒子的波称为几率波。实物微粒波的强度反映粒子几率出现的大小，称几率波。分析电子衍射实验：发现较强的电子流可以在短时间内得到电子衍射照片，但用很弱的电子流，让电子先后一个一个地到达底片，只要时间足够长，也能得到同样的衍射图形，这说明电子衍射不是电子之间相互作用的结果，而是电子本身运动的所固有的规律性。用很弱的电子流做衍射实验，电子一个一个地通过晶体，因为电子具有粒性，开始只能得到照片底片上的一个个点，得不到衍射图象，但电子每次到达的点并不总是重合在一起，经过足够长的时间，通过电子数目足够多时，照片上就得到衍射图象，显示出波性。可见电子

16、的波性是和微粒行为的统计性电子的波性是和微粒行为的统计性联系在一起的联系在一起的。 对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。7实物微粒有波性，我们对它粒性的理解也应和经典力学的概念有所不同它粒性的理解也应和经典力学的概念有所不同。在经典物理学中，粒子服从牛顿力学，它在一定的运动条件下有可以预测的运动轨道。按经典力学，一束电子在同样条件下通过晶体，每个电子都应达到相片上