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1、 九章算术刻本九章算术是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是算经十书中最 重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时， 九章 算术在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题， “方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是九章算术 没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志 中国古代数学形成了完整的体系。目录简介 主要内容 主要特点 数学成就 历史考证 后世影响 历史影响 简介九章算术是中国古代数学专著，是算经十书(汉唐之间出现的十部古算书)中 最重要的一种。魏晋时刘徽为九章算
2、术作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则 九章是矣” ，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗 残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也” 。 九章算术 根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内 容在东汉后期已经基本定型。 汉书艺文志(班固根据刘歆七略写成者)中着录的数学 书仅有许商算术 、 杜忠算术两种，并无九章算术 ，可见九章算术的出现要晚 于七略 。 后汉书马援传载其侄孙马续“博览群书，善九章算术 ” ，马续是公元 1 世纪最后二、三十年时人。再根据九章算术中可供判定年代的官名、地名等来推断， 现传本九章算术的成书
3、年代大约是在公元 1 世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数 学问题分为九大类，就是“九章” 。 1984 年， 九章算术 在湖北出土了算数书书简。据考证，它比九章算术要早一个半世纪以上，书中有 些内容和九章算术非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继 承关系，但也有不同的看法认为九章算术没有直接受到算数书影响。 后世的 数学家，大都是从九章算术开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。其中最著 名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。刘、李等人的注释和九章算术一起流传至今。唐 宋两代， 九章算术都由国家明令规定为教科书。到了北宋， 九章算术还曾由政府进 行过刊刻(1084
4、)，这是世界上最早的印刷本数学书。在现传本九章算术中，最早的版 本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。清代 戴震由永乐大典中抄出九章算术全书，并作了校勘。此后的四库全书本、武 英殿聚珍本、孔继涵刻的算经十书本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。 作为一部世界科学名著， 九章算术在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。现在，它已被译成 日、俄、德、法等多种文字。 编辑本段主要内容九章算术的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有 246 个与生产、 九 章算术 生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目） 、答（答案） 、术（解题的步骤，但没有证明
5、） ，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别 隶属于方田、粟米、衰（音 cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所 示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。 九章算术共收有 246 个数学问题， 分为九章、它们的主要内容分别是： 第一章“方田”： 主要讲述了平面几何图形面 积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆 环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分 母最大公约数等方法。 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称 为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术
6、； 第三章“衰分”：比例分配问题； 介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和 分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。 第四章 “少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、 体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法； 第六章“均输”：合 理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了 包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到 15 世 纪末以后才形成类似的全套方法。 第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、 盈适
7、足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为 盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组， 勾股定 理求解 相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上 最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到 17 世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程 的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术正负数的加减法则，与现 今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史 上一项重大的成就，第一次突破了正数的范
8、围，扩展了数系。外国则到 7 世纪印度的婆罗 摩及多才认识负数。 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多 数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若 a、b、c 分别 是勾股形的勾、股、弦，则，mn。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式 的几种特殊情况，直到 3 世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比九章算术晚约 3 个 世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公 式，在国外到 19 世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。 编辑本段主要特点九章算术确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以
9、解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大 体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说 时还常常把包括西算在内 九章算术 的数学知识纳入九章的框架。 然而， 九章算术亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学 概念的定义，也没有给出任何推导和证明。魏景元四年(263 年)，刘徽给九章算术作注， 才大大弥补了这个缺陷。 刘徽是中国数学家之一。他的生平现在知之甚少。据考证， 他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了九章算术的公式解法，提出 了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。 刘徽对数学概念的定 义抽象而
10、严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而 且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数相与者谓之率，把率定义为数量的相互 关系。又如他把正负数定义为今两算得失相反，要令正负以名之，摆脱了正为余，负为欠 的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。 九章算术的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐 同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之， 约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。 一平面(或立体)图形经过平移或 旋转，其面积(或体积)不变。把一个平面(或立体)图形分
11、解成若干部分，各部分面积(或体 积)之和与原图形面积(或体积)相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是中国 古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了 许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。 编辑本段数学成就九章算术中的数学成就是多方面的： (1)、在算术方面的主要成就有分数运 算、比例问题和“盈不足”算法。 九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作， 在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。 “盈不足”算法需要给出两 次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法” ，有人认为它是由中国经中世纪
12、阿拉伯 国家传去的 九章算术中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约 分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子， “内”读为纳)等等。其步骤与方法大体与 现代的雷同。 分数加减运算， 九章算术已明确提出先通分，使两分数的分母相同， 然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里 “实”是分子。 “法”是分母， “实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算， 九章算 术还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之” 。就是分子小于分母时 便以分数形式保留。其二是“其母同者，直相从之” ，就是分母相同的分数进行加减，运算 时不必通分，使分子直接加
13、减即可。 九章算术中还有求最大公约数和约分的方法。 求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置 分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。 ”这里所说的“等数”就是我 们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先 约去 2。不都是偶数了，则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗 转相减，减到余数和减数相等，即得等数。 在九章算术的第二、三、六等章内， 广泛地使用了各种比例解应用问题。粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下： “粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，”(图
14、123)这是说： 谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，。例如， 粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何” 。它的解法是：“以所有数乘所求 率为实，以所有率为法，实如法而一” 。 九章算术第七章“盈不足”专讲盈亏问 题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不 足四(钱)，问人数、物价各几何” ， “答曰：七人，物价 53(钱)。 ” “盈不足术曰：置所出率， 盈、不足各居其下。令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而 一置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数” 。盈不
15、足术是中国数 学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈 不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法” ，后来又 传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国。 (2)、 九章算术 总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体 积的计算公式和勾股定理的应用。 九章算术方田章主要论述平面图形直线形和圆 的面积计算方法。 九章算术方田章第一题“今有田广十五步，从(音纵 zong)十六步。问 为田几何。 ” “答曰：一亩” 。这里“广”就是宽， “从”即纵，指其长度， “方田术曰：广从 步数
16、相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平方步数)以亩法二百四十步(实质应为积步)除之， 即亩数。百亩为一顷。 ”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面积公式为“术曰： 半广以乘正从” 。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的 高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也。 ” “亦可以半正从以乘广”(图 130)。盈是多余，虚乃不足。 “以盈补虚”就是以多余部分 填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补” 的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式。方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”(即斜田)它的面积公式是：“
