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1、50习题习题 4.14.11写出下列级数的一般项，并用表示级数：1n na（1）；1234 251017L（2）；222 42 4 62 4 6 8xxx xx L（3）；111135246 L（4）。23453579aaaaL2已知级数的部分和如下，试写出该级数并求其和：1n nanS（1） ； （2）。3 21nnSn153 53 5nnnnnS 3利用级数收敛性的定义判别下列级数的敛散性. 并对收敛级数求和：（1）； （2）； （3）；1(221)nnnn 11 (1)(2)nn nn 1e( 1)3n n n n（4） ； （5）； （6）。1(1)!nn n 11lnnn n2 11
2、arctan2nn4证明：数列收敛级数收敛。这个结论表明，也能将研究数列的敛散性问na1 1()nn naa 题转化为研究级数的敛散性问题.5若级数与中有一个收敛，另一个发散，证明：级数必发散。如果所给1n na 1n nb 1()nn nab两个级数均发散，那么级数是否必发散？1()nn nab6已知求的和.1 21 11( 1)2,5,n nn nnaa 1n na517设级数的前项之和，并且,证明：该级数收敛且其和为.1n na2n2nSA0()nan A8利用级数性质判别下列级数的敛散性：（1）； （2）； （3）； （4）。11nnn 11 21nn 111 3nnn211 cosn
3、xnn9试用柯西收敛原理证明：若级数收敛，则.1n nalim0nna 10研究级数的收敛性.1sinnnx11下列命题是否正确？若正确给出证明，若不正确，举出反例.（1）若,且收敛，则必收敛；nnab1n nb 1n na（2）若收敛，且，则；1n na0na 1lim1nnna a（3）若收敛，且，则必收敛；1n nalim1nxnb a1n nb（4）若数列单调减，且,则必收敛；na0()nan 1n na（5）若发散，则必发散；1n na21n na（6）级数收敛的充分必要条件是前项之和所构成的数列有界.1n nannS12用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性：（1）； （2）
4、； （3）；11 1nn n2ln1nn1lnnn n（4）； （5）；11(0)1n naa 111lnnn nn（6）； （7）。1sinnn 11 cos(0)nnn13用比值判别法判别下列级数的敛散性：52（1）； （2）；12!nn nn n1 1tan2nnn （3） ； （4）。1! 4nnn0, 01pxnxnpn14用根值判别法判别下列级数的敛散性：（1）； （2）；131nnn n23 11 1nnn n （3）； （4）。11 (ln(1)nnnn2111 3nn nn n15判别下列级数的敛散性.（1）； （2）； 131nnnn 11(0,0)1nn naabb（3）
5、； （4）；113nn1201d1nnxxx（5）； （6）；1!enn nn n32 11 (ln(5)nnn（7）； （8）。1 1ln(0)nn n 2222222222L16证明：若，则级数发散.lim0nxnaa 1n na17设级数收敛，且，则.1n na0na 1nnaalim0nxna 18利用级数理论证明：当时，是比高阶的无穷小量.n 1nn1 !n 19讨论下列级数的敛散性，并对收敛级数说明是绝对收敛还是条件收敛：（1）； （2）；21( 1)lnnnn 1( 1)21nnn n（3）； （4）；1sinnnn 1(21)!( 1)(2 )!nnn n（5）； （6）；22
6、 11( 1)11nnn nn 11( 1)lnnnnn53（7） ； （8）。131ln( 1)nnn n 1cos ! ln(ee)nn nn n 20判定级数的敛散性.111111 2121313111nnLL21设为实数，讨论级数的敛散性.111111112345621(2 )nnLL22已知级数与都收敛，且，证明也收敛.1n na 1n nbnnnacb1n nc23若级数都收敛，证明：，都绝对收敛.2211nn nnab与1 11, n nn nnaa an 1nn na b24设，且有，0,0nnab11(1,2,)nnnnabnabL证明：（1）若级数收敛，则收敛；1n nb
7、1n na（2）若级数发散，则发散.1n na 1n nb25设，且，证明：0na lnlimlnnxaqn（1）当时，级数收敛；1q 1n na（2）当时，则级数发散.1q 1n na26用 Cauchy 收敛准则判别下列级数的敛散性:（1） ； （2）。1cos 2nnnx 1111 313233nnnn27在级数中，设，1n na,0 0,02nnnn n naaaaaa,0 0,02nnnn n naaaaaa则与分别称为的正部和负部，证明：nanana（1）绝对收敛的充分必要条件是正项级数与都收敛；1n na 1n na 1n na 54（2）条件收敛的必要条件是与都发散.1n na
8、 1n na 1n na 习题习题 4.24.21说明函数项级数的逐点收敛与一致收敛的区别和联系，并且用语言表述级数在集N1n nu合上不一致收敛于函数.DR( ):S xDR2证明：若函数列在上一致收敛于 f，则在 D 上一致收敛于| f |.nfDRnf3设在 D 上一致收敛于 f，在 D 上一致收敛于 g，证明在 D 上一致收敛于nfngnnfg.fg4讨论下列函数列在所给区间内的一致收敛性：（1）；2( ) 01nn nfxxxx（2）；( )sin (i)- (ii)nxfxlxlxn （3）；( )ln 01nxxfxxnn5讨论下列级数的一致收敛性：（1）； 3441sinnnx
9、x nx （2）；42 11nxxn x （3）；22 1( 1)(1)nn nxxx （4）；21e 0nxnxx （5）；112 sin 03n n nxx 6设在0，a上连续，又，证明：在0，a上一致收敛于零.0( )fx10( )( )dxnnfxftt( )nfx7证明：级数关于在上一致收敛但对任何并非绝对收敛.而1 2 11( 1)nnnx x(,) x55虽在上绝对收敛，但并不一致收敛.22 1(1)nnx x(,)x 8证明：若在上一致收敛，那么在上也一致收敛.1( )n nux , a b1( )n nux , a b9证明：函数在内连续，并有连续的导函数.3 1sin( )
10、nnxf xn(,) 10 （函数列的 Cauchy 收敛原理）设是集合 D 上的一个函数列，证明：在 D 上一致收敛nfnf的充要条件为是 D 上的基本列，即使得，恒有nf0, NN ,m nNxD .( )( )mnfxfx11若级数在开区间内任一闭区间上一致收敛，则称该级数在上内闭一致收1( )n nux( , )a b( , )a b敛。证明：若在上内闭一致收敛，则它在内逐点收敛.若在内闭一1( )n nux( , )a b( , )a b1( )n nux( , )a b致收敛于，且在上连续，则在上连续.( )u x( )nux( , )a b( )u x( , )a b12如果，在
11、上是单调函数，并且级数在的两端点处绝对收敛，n N( )nux , a b1( )n nux , a b证明它在上绝对一致收敛（即绝对值级数一致收敛）. , a b习题习题 4.34.31求下列各级数的收敛域：（1）； （2）；11( 1) (1)nnnx n n 21(1)2nnnnnx （3） ； （4）；13( 2)(21)21nn nnxn 1ln(3)2 (1)n n nnxn（5）； （6）；212nn nx4101 4 (21)n n nxn 56（7） ； （8）；113sin()332n n nx x 211!n n nnxn （9） ； （10）。11112nnxnL2 1
12、(2 )! ( !)nnnxn2设幂级数在处条件收敛，求的收敛区间.1(1)2nn n nax3x 1n n na x3设幂级数的收敛半径为，的收敛半径为，讨论下列级数的收敛半径：1n n na x1R1n n nb x2R（1）； （2）。21n n na x 1()n nn nab x4求下列函数的 Maclaurin 展开式（1）； （2）； （3）；chx21 23xx221xx（4）； （5）； （6）；21 (1)x2ln(12)xx2sin x（7）； （8）。(1)exx224arctan4x x 5设，求。( )arctanf xx( )(0)nf6求下列函数在给定点处的 Taylor 展开式：0x
