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1、中国奥博教育 http:/www.chinaAoB 浙江奥数网 http:/ADD：浙江省杭州市学院路 146 号第一教学楼 507 室 TEL： 057185028528 FAX： 05718502857812004 年全国高中数学联赛四川省初赛年全国高中数学联赛四川省初赛2004 年 9 月 12 日上午 9001100一、选择题(每小题 5 分，6 个小题共计 30 分)1 函数 f(x)x2x4x1A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数2 已知 f(x)对任意的整数 x 都有 f(x2)f(x2)，若 f(0)2003，则
2、f(2004)A.2002B.2003C.2004D.20053 已知不等式 m2(cos25)m4sin20 恒成立，则实数 m 的取值范围是A.0m4B.1m4C.m4 或 x0D.m1 或 m04 母线长为的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为6A.1B.2C.3D.45 正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为A.B.C.D.324 33 4236 函数 ycos3xsin2xcosx 的最大值等于A.B.C.D.32271627827427二、填空题(每小题 5 分，6 个小题共计 30 分)7 已知函数 f(x)，则 f()f()f()
3、_.32x 332x110121011001018 不等式|x22|2x1 的解集为_.9 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这 90000 个车牌照中数字 9 至少出现一个，并且各数字之和是 9 的倍数的车牌照共有_个.10若 0a、b、c1 满足条件 abbcca1，则的最小值是_.11a1 1b1 1c11已知正四棱锥 VABCD 的棱长都等于 a，侧棱 VB、VD 的中点分别为 H 和 K，若过 A、H、K三点的平面交侧棱 VC 于 L，则四边形 AHLK 的面积为_.12已知 a、b、x 是实数，函数 f(x)x22ax1 与函数 g(x)2b(ax)
4、的图象不相交，记参数a、b 所组成的点(a，b)的集合为 A，则集合 A 所表示的平形图象的面积为_.三、解答题(每小题 20 分，4 个小题共计 80 分)中国奥博教育 http:/www.chinaAoB 浙江奥数网 http:/ADD：浙江省杭州市学院路 146 号第一教学楼 507 室 TEL： 057185028528 FAX： 057185028578213已知数列an满足 a11，an2an1n2(n2)，求通项 an.14如图，O、H 分别是锐角ABC 的外心和垂心，D 是 BC 边的中点，由 H 向A 及其外角平分线作垂线，垂足分别是 E 是 F.证明：D、E、F 三点共线.
5、15设 A1，2，n，用 Sn表示 A 的所有非空真子集中个元素之和，Bn表示 A 的子集个数.求.limnSnn2Bn16已知椭圆：1(ab0)，x2a2y2b2动圆：x2y2R2，其中 bRa.若 A 是椭圆上的动点，B 是动圆上的动点，且使直线 AB 与椭圆和动圆均相切，求 A、B 两点的距离|AB|的最大值.2004 年全国高中数学联赛(四川省初赛)参考答案一、ABCBDA二、7、50； 8、x|1x3； 9、4168；210、； 11、a2； 12、3(3r(3)256三、13解：由已知可得：ann2(an1n1)(n2)5令 bnann，则 b1a112，且 bn2bn1(n2)1
6、0FEHDAOCB中国奥博教育 http:/www.chinaAoB 浙江奥数网 http:/ADD：浙江省杭州市学院路 146 号第一教学楼 507 室 TEL： 057185028528 FAX： 0571850285783于是 bn22n12n，即 ann2n15故 an2nn(n2)，因为 a11 也适合上述式子，所以 an2nn(n1)2014.证明：连结 OA，OD，并延长 OD 交ABC 的外接圆于 M则 ODBC，BMMCA、E、M 三点共线AE、AF 分别是ABC 的A 及其外角平分线，AEAF 5又HEAE，HFAF四边形 AEHF 为矩形.因此 AH 与 EF 互相平分，
7、设其交点为 G于是：AG AH EFEG 101212而 OAOM，且 ODAHOAMOMAMAGGEA故 EGOA (1)15O、H 分别是ABC 的外心和垂心，且 ODBCOD AHAG，因此，若连结 DG，则四边形 AODG 为平行四边形12从而 DGOA (2)由(1)和(2)知，D、E、G 三点共线，但 F 在 EG 上故 D、E、F 三点共线.15解：易知 Bn2n5先考察数字 1 在 A 的所有非空真子集中出现的次数：在一元子集中只出现 1 次在二元子集中出现 C次，n11在三元子集中出现 C次，n12在 n1 元子集中出现 C次，n1n2故数字 1 在所有子集中出现的次数为 1
8、CCC2n11 次.10n11n12n1n2GFEMHDAOCB中国奥博教育 http:/www.chinaAoB 浙江奥数网 http:/ADD：浙江省杭州市学院路 146 号第一教学楼 507 室 TEL： 057185028528 FAX： 0571850285784对其余数字有完全相同的结论.于是 Sn(123n)(2n11)(2n11)15n(n1)220limnSnn2Bn limnn(n1)(2n11)2n22n1416解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为:ykxm因为 A 既在椭圆上，又在直线 AB 上，从而有y1kx1m (1) x12 a2y12
9、b21 (2)将(1)代入(2)得：(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0由于直线与椭圆相切，故(2kma2)24(a2k2b2)a2(m2b2)0从而可得：m2b2a2k2，x1 (3)5ka2 m同理，由 B 既在圆上又在直线 AB 上，可得：m2R(1k2)，x2 (4)10kR2 m由(3)(4)得：k2，x2x1R2b2 a2R2k(a2R2) m|AB|2(x2x1)2(y2y1)2(1k2)(x2x1)2m2 R2k(a2R2) m(a2R2)R2R2b2a2R2a2b2R2(a2R2)(R2b2) R2a2b2 R2(ab)2(R)2(ab)2.15ab R即|AB|ab，当且仅当 R时取等号.ab所以，A、B 两点的距离|AB|的最大值为 ab.20
