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1、新乡学院新乡学院20072007 级毕业论文级毕业论文论文题目：函数极限的计算方法姓 名 学 号 22 所在院系 数学系 专业名称 数学及应用数学 指导教师 指导教师职称 2011 年 3 月 1 日目录目录内容摘要 1关 键 词 1Abstract 1Key words 11.引言12. 极限的计算方法 12.1 四则运算法12.2 函数连续性法22.3 变量替换法32.4 等价无穷小等换法42.5 洛必达法则置换法42.6 左右极限转化法52.7 数列与函数极限转化法52.8 适当放大缩小法62.9 递归数列推导法72.10 定积分前 n 项和综合 法82.11 泰勒公式转化法92.12
2、导数定义法 10参考文献 11致 谢 12函数极限的计算方法函数极限的计算方法内容摘要内容摘要:函数极限是数学分析的一个分支,广泛使用现有的科学技术和数学方法,解决实际中的问题,助决策人员选择最优方针和决策,本文主要探讨了函数极限的方法，从不同的角度，不同的例子给出各种不同的解题方法，而且给出它的解题思路，使其更明了.关关 键键 词词: 函数极限 方法 思路Abstract:Abstract:limit of function is a branch of mathematical analysis, which is widely used in the existing science t
3、echnology and mathematical method to solve practical problems and help decision-making person to choose optimal policies and guidelines. This paper mainly dicuss ways of solve limit of function, there are a lot of different ways of solve limit of function for different angles and different examples,
4、 there have a lot of ideas of solve limit of function,there is very clear.KeyKey wordswords: limit of function method ideas1 1 函数极限简介函数极限简介 函数极限是数学分析的一个重要的分支，它贯穿于整个数学分析的全部，从而可见函数极限的求出对我们的学习数学分析非常重要，而且函数极限的应用很广贯穿于经济,概率论等许许多多的方面. 2 2 极限的计算方法极限的计算方法 2.12.1 四则运算法四则运算法 例 1 求思路:对和差积商形式的函数求极限自然会想31lim1/(1)
5、3/(1) xwxx 到运用极限的四则运算法则来计算极限.解：原式=231lim(xx2)/(1x ) x=-1 21lim x1x+2 / 1x1xx x21limx2 /1xx x2.22.2 函数连续性法函数连续性法 例 2 求的极限思路: 设为初等函数,为的定义区222lim(5)/(3) xxx ( )f x0x( )f x间上的一点，则.(1)设在连续,按定义则有 0lim( )()f xf x( )f xxa.因此若不用定义可判断函数连续时,那么对连续函数求极限就是lim( )( ) xaf xf a 用代入法求函数值. (2)一切初等函数在定义域区间上连续,因此,若是初等函数,
6、 属于其定义( )f xa域区间,则.(3)设,若补充定义,则在lim( )( ) xaf xf a lim ( ) xag xA ( )g aA( )g x连续.若又有在处连续,则由复合函数的连续性得xa( )yf uuA.解：原式=9 lim( ( )(lim ( )( ) xaxaf g xfg xf A 2.3 变量替换法变量替换法 例 3 计算 0lim(tan )/( ) xxx 设1 xx00sinx1lim1 limelimxexxxxx利用、（1+ ）或（1+ ）等三个结论来计算函数极限,则.(若把lim( ) xx lim( ) uf uA lim( ( )( ) lim(
7、 ) xufx uxf uA 改为或,上述结论仍成立.)设,在连x x 0xx00lim( ) xxxu ( )f u0u续,则.000lim( ( )( ),lim( )() xauf g x ux xx uuf uf u 重要极限与变量替换法相结合可求极限:0sin( )lim1( )xxx x01 ( )lim(1( )xxxxe ,极限过程改为其他情形也0( ) ( )lim(1( )x Axxxxe 0lim( )0 xxx 0lim( ) xxxA 0xx有类似结论.设,求型极限.0lim( )1 xxf x 0lim( ) xxg x 1.转化为求型极限 001( )( ) 1)
8、( )( ) 1lim( )lim1 ( ( ) 1)g xf xg xAf xxxxxf xf xe0.解：原式0lim( ) ( ) 1 xxg xf xA 000sinx1sinx1limlimlim1xcosxxcosxxxx2.4 等价无穷小等换法等价无穷小等换法 例 4 求思路:当时,利用 x03sinxe1lim1 cosx ln 1xx x0等等价无穷小来计算极限.若时，无穷小sinxtanxln 11xxexxa,(即),则*( )( )xx*( )( )xx*aa( )( )lim1,lim1( )( )xxxx xx .(等式两边其中之一极限存在或为,则另一也是*aa(
9、) ( )( ) ( )limlim( ) ( )( ) ( )xxx u xx u x x v xx v x 且相等)该结论表明:在求极限过程中等价无穷小因子可以替换.利用等价无穷小因子替换求极限,可以大大减小计算量.但利用等价无穷小因子替换求极限应注意以下两点:只要求在求极限的乘除运算中使用等价无穷小因子替换.不要在求极限的加减运算中使用,再加减中等价无穷小的替换是有条件的.解:原式= 03lim22xxx x2.5 洛必达法则置换法洛必达法则置换法 例 5 求20 00tan 1 lim1 cosxxxartt dt duxx 思路：对零比零，无穷比无穷等未定式的极限,常可用洛必达法则来
10、计算若不存在也不为,不能说明不存在.,但( )lim( )xafx g x ( )lim( )xaf x g xsinlim1 xxx x即不存在.要验证应用法则的条件,例如,以下运算(sin )lim xxx x lim(1 cos ) xx 是错误的:事实上, 000cos(cos )1 sinlimlimlim11xxxxxxxx xx0coslim xxx x 这里不是型也不是型.若还是型或型,则可连续用 0coslim xxx x0 0 ( )lim( )xafx g x 0 0 洛必达法则,只要符合条件,一直可用到求出极限为止.其他类型的未定式（,等）先化成或型,再用洛必达法则.使用洛必达法则000100 0 也要用到一些技巧,如结合应用变量替换,等价无穷小因子替换，极限的四则算法则，有确定非零极限的因子应先求出等.解：= = = 200arctan() lim(1 cos )sinxxat dtxxx 20arctan() 2lim2sincosxaxx xxx 2 2 2042arctan(1)1lim3coscosxxxx xxx = 202arctan(1)lim3cosxx x 62.6 左右极限转化法左右极限转
