离散系统z域分析

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1、第六章 离散系统统z域分析 6.1 z 变换 一、从拉普拉斯变换到z变换 二、收敛域 6.2 z 变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z 域分析 一、差分方程的变换解 二、系统的z域框图 三、利用z变换求卷积和 四、s域与z域的关系 五、离散系统的频率响应点击目录 ，进入相关章节第六章 离散系统统z域分析 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以 通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的 动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方 程转换为代数方程。 6.1 z变换 一、从拉氏变换到z变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号: 取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得

2、令z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示； f(kT) f(k) ，得 称为序列f(k)的 双边z变换称为序列f(k)的 单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不 等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。 F(z) = Zf(k) ,f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z)6.1 z变换6.1 z变换二、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级 数收敛，即时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是 序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。 收敛域的定义： 对于序列f(k)，满足 所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域

3、。 6.1 z变换例1求以下有限序列的z变换(1) f1(k)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解 (1) 可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关， 所以其收敛域为整个z 平面。 (2) f2(k)的双边z 变换为 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域为0 0对有限序列的z变换的收敛域一般为0a =时，其z变换存在 。 收敛域为|z|a|6.1 z变换例3 求反因果序列 的z变换。解 可见，b-1z2 f2(k)= 2k( k 1)F2(z)=, z0(k)，z1 ，z16.2 z变换的性质 二、移位（移序）特性 单边、

4、双边差别大！双边z变换的移位： 若 f(k) F(z) , 0，则 f(km) zmF(z), ，且有整数m0, 则 f(k-1) z-1F(z) + f(-1) f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 6.2 z变换的性质 f(k+1) zF(z) f(0)z f(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z 证明： Zf(k m)= 上式第二项令k m=n特例：若f(k)为因果序列，则f(k m) z-mF(z)6.2 z变换的性质 例1：求周期为N的有始周期性单位序列 的z变换。 解z1例2：求f(k)= k(k)的单边z变换F(z). 解f(k+1)=

5、(k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k) zF(z) zf(0) = F(z) + F(z)=6.2 z变换的性质三、序列乘ak(z域尺度变换) 若 f(k) F(z) , 0，则, 0，则 例：求序列 的z变换。 解6.2 z变换的性质 七、k域反转(仅适用双边z变换） 若 f(k) F(z) , a求a k( k 1)的z变换。 解，|z| a，|z| max(|a|,1)6.2 z变换的性质 九、初值定理和终值定理 初值定理适用于右边序列，即适用于k F2(z)=Zf(k)(k 1)= ，|z| 2 (2) |z|1 ，z)和 F2(z)(z2 (2) z2，

6、故f(k)为因果序列 (2) 当z1，后两 项满足z , f(k)=2K1kcos(k+)(k) 若z1)，则逆变换为 若z ,对应原序列为 6.3 逆z变换以z为例： 当r=2时，为 kak-1(k) 当r=3时，为 可这样推导记忆： Zak(k)=两边对a求导得 Zkak-1(k)= 再对a求导得Zk(k-1)ak-2(k)=故Z0.5k(k-1)ak-2(k)=6.3 逆z变换 例：已知象函数，z1的原函数。解f(k)=k(k-1)+3k+1(k)6.4 z域分析 6.4 z域分析 单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数 方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。 一、差分方程的变

7、换解 设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。 取单边z变换得 6.4 z域分析令称为系统函数h(k)H(z) 例1：若某系统的差分方程为y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2) 已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统的yx(k) 、yf(k)、y(k)。 解方程取单边z变换 6.4 z域分析Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) 6.4 z域分析 例2： 某系统，已知当输入f(k)=( 1/2)k(k)时，其零 状态响应 求系统

8、的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。 解h(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k(k) 6.4 z域分析二、系统的z域框图 另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域和z域框图 相同。6.4 z域分析例3： 某系统的k域框图如图，已知输入f(k)= (k)。 (1) 求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应yf(k)。 (2) 若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零输入响应yx(k)解:(1)画z域框图z-1z-1 F(z)Yf(z)设中间变量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)Yf(z)=X(z) 3z-1X(z)=

9、 ( 1 3z-1)X(z)6.4 z域分析h(k) = 2 (2)k(k)当f(k)= (k)时，F(z)= z/(z-1)yf(k) = 2k + 3 2 (2)k(k)(2)由H(z)可知，差分方程的特征根为1=1， 2=26.4 z域分析yx(k) = Cx1 + Cx2 (2)k由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有Cx1 + Cx2 (2)-1= 0Cx1 + Cx2 (2)-2= 0.5Cx1 =1, Cx2 = - 2yx(k) = 1 2 (2)k三、利用z变换求卷积和 例：求2k (k)*2-k (k) 解： 原式象函数为原式=1* 2-k (k)？6.4 z域分析四、s

10、域与z域的关系 z=esT 式中T为取样周期如果将s表示为直角坐标形式 s = +j ，将z表 示为极坐标形式 z = ej= eT ， = T由上式可看出： s平面的左半平面（z平面的单 位圆内部（z=0)-z平面的单位圆外部（z=1)s平面的j轴（=0)-z平面中的单位圆上（z=1)s平面上实轴（=0)-z平面的正实轴（=0)s平面上的原点（=0，=0）-z平面上z=1的点（ =1，=0） 6.4 z域分析五、离散系统的频率响应 由于z = esT ， s=+j，若离散系统H(z)收敛域含单 位园，则若连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应离散系统频率响应定义为存在。令T =

11、，称为数字角频率。式中H(ej)称为幅频响应,偶函数；()称为相频响应。 只有H(z)收敛域 含单位园才存在 频率响应6.4 z域分析设LTI离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为 H(z)，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应 yf(k)=h(k)*f(k) 当f(k)=ejk时若输入f(k)=Acos(k+)则其正弦稳态响应为ys(k)= 0.5A ej ej k H(ej) + 0.5A e-j e-j k H(e - j) = 0.5A ej ej k |H(ej)|ej() + 0.5A e-j e-j k |H(e-j)| e-j() =A |H(ej)| cos k + +

12、 () = 0.5Aej k ej + 0.5Ae-j k e-j 6.4 z域分析例 图示为一横向数字滤波器。 （1）求滤波器的频率响应； （2）若输入信号为连续信号f(t)=1+2cos(0t)+3cos(20t) 经取样得到的离散序列f(k)，已知信号频率f0=100Hz，取 样fs=600Hz，求滤波器的稳态输出yss(k) 解 （1）求系统函数Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z) H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3 ，|z|0 令=TS，z取e j H(ej) =1+ 2e-j+2e-j2+ e-j3 =e-j1.52cos(1.5)+ 4cos(0.5)6.4 z域分析(2)连续信号f(t) =1+2cos(0t)+3cos(20t) 经取样后的离散信号为(f0=100Hz,fs=600Hz ) f(k)=f(kTs)= 1+2cos(k0Ts)+3cosk(20Ts) 令 1=0 , 2=0Ts=/3 , 3=20Ts= 2/3 所以 H(ej1)=6 ，H(ej2)=3.46e-j/2 , H(ej3)= 0 稳态响应为 yss(t)= H(ej1)+2 H(ej2)cosk0Ts+(2)+3 H(ej3)cos2k0Ts+(3) = 6 + 6.92cos(k/3-/2) 可见消除了输入序列的二次谐波。