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1、结构力学多媒体课件长春工程学院结构力学教研室基本要求：理解变形体虚功原理的内容及其应用，熟练掌握荷载作用下静定结构的位移计算；熟练掌握图乘法及其应用条件；了解静定结构在温度变化、支座移动影响下位移计算方法，了解线弹性体互等定理。教学内容：虚功及虚功原理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度作用时的位移计算 支座移动产生的位移计算 线弹性体互等定理 Chapter 9 Structure displacement computing9 虚功原理及结构的位移计算9.1位移计算概述二、计算位移目的 （1）验算结构的刚度； （2）为超静定结构的内力分析打基础； （3）建筑起拱。三、位移产生的主要原因
2、（1）荷载作用； （2）温度改变和材料胀缩； （3）支座沉降和制造误差等。一、结构的位移 （1）线位移： （2）角位移：为什么要计算为什么要计算 位移位移? ?四、本章位移计算假定 （1）线弹性体； （2）小变形；叠加原理适用建筑起拱将各下弦杆做 得比实际长度 短些，拼装后 下弦向上起拱 。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。9.2 虚功和虚功原理一、实功和虚功 实功：力在自身所产生的位移上所作的功。 虚功：力在其它原因产生的位移上作的功。力在变形位移上所作的实功为：P力在对应虚位移上所作的虚功为：P注意：注意： （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力
3、状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关.二、广义力、广义位移一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功 WW= =P P P P-广义力广义力; ; - -广义位移广义位移例例:1):1)作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2)2)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶3)3)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶反向的集中力偶4)4)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值反向的集中力反向的集中力PPP刚体在外力作用下处于平衡的 充分必要条件是，对于任意微小的 虚位移，外力所作的虚功之和等于 零。三、刚体体系的虚功原理P 23/2虚功
4、原理的应用：1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理）原理的表述：体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。四、变形体系的虚功原理说明：（1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。（2）原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于 任何结构。（3）原理应用 ：1）虚设位移求未知力（虚位移原理）2）虚设力系求位移（虚力原理）ds微段的变形可分为:ddsdd1Pq2N1N1+dN Q1Q1+dQM1M1+dM ds微段内力在变形位移上所作
5、虚功：对于杆系结构，内力所作虚功：外力所作虚功：由变形体虚功原理：虚功原理应用举例 例. 求A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 .解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。由 得：解得：这是单位荷载法 。虚功方程为：ABaCbc1 ABC9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式图图 乘乘 法法虚设力状态。在求位移处沿所求 位移方向加上相应的广义单位力P=1.欲计算位移状态某位移。由变形体虚功原理：该式是结构位移计算的一般公式。1) 适用于静定结构和超静定结构。2) 适用于产生位移的各种原因、不同 的变形类型、不同的材料。
6、3)该式右边四项乘积，当力与变形的方 向一致时，乘积取正。P=1虚拟力状态 11RP1P2t1t2位移状态 2c1KKHK9.4 荷载作用下的位移计算适用于线 弹性体系1.梁与刚架2.桁架3.组合结构4.拱在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚 相应的广义单位荷载。P=1求A点的 水平位移m=1 求A截面 的转角m=1m=1求AB两截面 的相对转角P=1P=1求AB两点 的相对位移l1/l1/l求AB两点 连线的转角例：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载MP（x1）=Px/2 0x1l/2 MP（x2）=P（lx）/2 l/2 x2l0xlEIdsMMlP B0=2）MP须分段写m=1
7、Pl/2l/2EIAB x1x2解：例1:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.dGAPRdEAPR EIPR+ +=cossin20203 q qk qqpp22PP=1例：求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移。 解：1）虚拟单位荷载q cos=Qq sin-=Nq sin-=RMqcos=PQPqsin-= PNPqsin-= PRMP虚拟荷载3）QNMD+D+D=PPP GAdsQQEAdsNNEIdsMM+=DGAPR EAPR EIPR+=D4443pk ppds=Rddds钢筋混凝土结构G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMQD2=DM
8、N ARI2412=DDMQ Rh GAREIk可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载h101R如梁与刚架荷载作用下的位移计算公式：9.5 图 乘 法如何利用弯矩图 ，使其计算得以 简化？一、图乘法的公式(EI为常数)(直杆)图乘法求位移公式为:图乘法的 应 用条件是 什么?图乘法的应用条件：（1）杆轴为直线；（2）EI为常数；（3）两个弯矩图中应有一个是直线图形。说明：（1）若两个M图在杆件的同侧，乘积取正值；反之，取 负值。（2） 应取自直线图中。例. 试求图示梁B端转角.解:为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
9、果为正?求取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.能用 M图面积乘 MP图竖标吗?例. 试求图示结构B点竖向位移.解 :二、几种常见图形的面积和形心的位置(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线=hl/4顶点顶点抛物线顶 点如何确 定？（ ）图图例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角解:BAq三、图形分解求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角根据弯矩区段叠加的 做法，复杂图形均可 化为简支梁相应荷载 作用的叠加。qBA图乘法小结1.
10、 图乘法的应用条件：（1）杆轴为直线;（2）EI为常数；（3）两个M图中应有一个是直线图形。2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。3. 如图形较复杂，可分解为简单图形。9.6 温度作用时的位移计算 上、下边缘的温差 :设线膨胀系数为 ;温度沿杆件截面高度线性变化。静定结构温度变 化有形变无内力一、微段的温度变形分析若轴线温度二、温度变化时位移计算温度引起的位移计算公式:对等截面直杆:若 和 使杆件的同一边 产生拉伸变形，其乘积为正， 反之为负。轴力拉为正，t0 升温为正。 正、负号如 何选取？例：刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为 0 时A点的竖向位
11、移 。已知l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m解：设单位力。MllAANA9.69.6 支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算 计算公式为:静定结构支座移 动有位移无内力K1K例1:求解：设单位力；求支反力。CBAll静定结构位移计算小结1.产生位移的原因荷载作用；温度改变；支座移动；制造误差等。 2.计算方法基本原理: 变形体虚功原理; 基本方法: 单位荷载法; 计算思路:(1)虚设单位力;(2)分析结构位移、变形位移；（3）得出实用位移计算公式；（4）具体位移计算。9.8 9.8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理1. 功的互等定理:在线性变形体系中，在线性变形
12、体系中，状态的外力在状态的外力在状态位移上所做状态位移上所做 虚功，恒等于虚功，恒等于状态外力在状态外力在 状态位移上所做虚功。状态位移上所做虚功。应用条件:1)P ;2)小变形。即:线性变形体系。N1 M1 Q1N2 M2 Q2F1F2 P1P2 2. 位移互等定理由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单 位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。PPD=D212121若：P1=1，P2=1注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。P2P121123、反力互等定理k11k21k22k12kck+=221120ckk+221110在任一线性变形体系中，由单位位移C1=1所引起的与位 移C2相应的反力r21等于由单位位移C2=1所引起的与位移C1相 应的反力r12 。 注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用与超静定结构。c1=1c2=1
