函数模型及其应用讲读设计

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1、- 1 -编制人审核人主讲人评价等级班 别学生姓名组 别学习日期3.2.13.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型 讲读设计讲读设计教学目标：教学目标：1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.教学重点：教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义

2、教学难点：教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题教学过程：教学过程： 一、预习反馈一、预习反馈 阅读：澳大利亚兔子数“爆炸” 有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋1859 年，有人从欧洲带进澳 洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子们 占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿只可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只 羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们 采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的

3、野兔， 澳大利亚人才算松了一口气二、学习目标二、学习目标 1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异； 3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题. 三、自学与探究三、自学与探究 ( (一一) )自学提示自学提示 整合教材知识整合教材知识, ,落实基本能力落实基本能力 例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一方案一：每天回报 40 元； 方案二方案二：第一天回报 10 元

4、，以后每天比前一天多回报 10 元； 方案三方案三：第一天回报 0 .4 元，以后每天的回报比前一天翻一番 请问，你会选择哪种投资方案？反思： （1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？（2） 根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或 计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点。- 2 -例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达 到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加yx 但奖金不超过 5 万元，同时奖金不超

5、过利润的 25%现有三个奖励模型： ；. 0.25yx7log1yx1.002xy 问：其中哪个模型能符合公司的要求？反思： （1） 此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？ （2）根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？探究探究：幂、指、对函数的增长差异幂、指、对函数的增长差异问题：幂函数、指数函数、对数函数在区间上的单(0)nyxn(1)xyaalog(1)ayx a(0,)调性如何？增长有差异吗？实验：函数，试计算：12xy 2 2yx2logyxx12345678 y1 y2 y3011.5822.322.582.813 由表中的数据，你能得到什么结论？思考：大小关系

6、是如何的？增长差异？2 2log,2 ,xxx结论：在区间上，尽管，和(0,)(1)xyaalog(1)ayx a(0)nyxn都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着 x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于(1)xyaa(0)nyxn的增长速度而的增长速度则越来越慢因此，总会存在一个，log(1)ayx a0x当时，就有0xxlognx axxa( (二二) )合作探讨合作探讨 某商场购进一批单价为 6 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价- 3 -格. 经试验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件，若按 25

7、元的价格销售时，每月能卖 210 件，假定每月销售件数 y（件）是价格 x（元/件）的一次函数。 （1）试求 y 与 x 之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利 润？每月的最大利润是多少？( (三三) )探究提升探究提升 精研高考题点精研高考题点, ,提升备考智能提升备考智能 题型一 函数模型的增长差异例 1 (1)当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A.y10 000x B.ylog2xC.yx1 000 D.yx(e2)(2)四个变量 y1，y2，y3，y4随变量 x 变化的数据如下表：x1510152

8、02530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于 x 呈指数函数变化的变量是_.答案 (1)D (2)y2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函数 yx增长速度最快.(e2)(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4均是从 2 开始变化，变量 y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，可知变量 y

9、2关于 x 呈指数函数变化.反思与感悟 在区间(0，)上，尽管函数 yax(a1)，ylogax(a1)和 yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着 x 的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 yxn(n0)的增长速度，而 ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个 x0，当 xx0时，就有 logaxxnax.变式训练 1 下列函数中，随 x 增大而增大速度最快的是( )A.2 014ln x B.yx2 014C.y D.y2 0142xx2 014答案 D解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时

10、，函数 y2 0142x的增长速度最快.故选 D.题型二 几种函数模型的比较例 2 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 y(单位：元/102kg)与- 4 -上市时间 x(单位：天)的数据如下表：时间 x50110250种植成本 y150108150(1)根据上述表格中的数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 y 与上市时间 x 的变化关系：yaxb，yax2bxc，yabx，yalogax.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本.解 (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，a0，而此时 yaxb，yabx，ya

11、logax 均为单调函数，与表中数据不符，因此 yax2bxc，将三组数据代入得Error!得Error!描述西红柿种植成本 y 与上市时间 x 的关系为yx2 x.1200324252(2)当 x150 时，ymin100(元/102kg).反思与感悟 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.变式训练 2 某汽车制造商在 2013 年初公告：随着金融危

12、机的解除，公司计划 2013 年生产目标定为43 万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201020112012产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将 2010,2011,2012,2013 定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型 f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型 g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量 y 与年份 x 的关系？解 建立年产量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).(1)构造二次函数模型 f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得Error!解得 a

13、1，b7，c0，则 f(x)x27x，故 f(4)44，与计划误差为 1.(2)构造指数函数模型 g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得Error!解得 a，b ，c42.125365- 5 -则 g(x)x42，1253(65)故 g(4)44244.4，与计划误差为 1.4.1253(65)由(1)(2)可得，f(x)x27x 模型能更好地反映该公司年产量 y 与年份 x 的关系.对几种函数的增长趋势把握不准致误例 3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程 fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为 f1(x)2x1，f2(

14、x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1).有以下结论：当 x1 时，甲走在最前面；当 x1 时，乙走在最前面；当 01 时，丁走在最后面；丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_.解析 四个函数的图象如图所示，根据图象易知，正确.答案 纠错心得 解决这类问题可以作出图象，根据图象特征使问题得解.变式训练 3 下面对函数 f(x)log x，g(x)( )x与 h(x)x在区间(0，)上的衰减情况的说法正211221确的是( )A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢B.f(x)

15、衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快答案 C- 6 -解析 函数 f(x)log x，g(x)( )x与 h(x)x在区间(0，)上的大致图象211221如图所示.观察图象，可知函数 f(x)的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.同样，函数 g(x)的图象在区间(0，)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.函数 h(x)的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选 C.四、当堂检测四、当堂检测 1. 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，4 个分裂成 8 个，现有 2 个这样的细 胞，分裂 x 次后得到的细胞个数 y 为（ ）.A B. y=2 C. y=2 D. y=2x12xy1xx2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越 慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用（ ）. A. 一次函数 B. 二