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1、高二数学（理科）期中试题 第 1 页 共 4 页y=xf(x)-111-1oyx20112012 学年度第二学期期中考试题学年度第二学期期中考试题高二数学（理科）高二数学（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分）1、复数的虚部为（ ）51iiz（）（）（）（）16i32i32322、设则 （ ）12( )1,23 ,5, f zz zi zi)(21zzfiDiCiBiA44)(44)(44)(44)(3、若，则复数表示的点在（ ）Rba,ibbaa)62()54(22（A）在第一象限 （B）在第二象限 （C）在第三象限 （D）在第四象限 4、下列可组成一个“三段论”
2、 ，则“小前提”是（ ） 只有船准时起航，才能准时到达目的港； 这艘船是准时到达目的港的； 这艘船是准时起航的 （）（）（）和（）5、用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由)2(2413 21 21 11nnnn到时，不等式的左边（ ）kn 1 kn（A）增加了一项 （B）增加了两项) 1(21 k) 1(21 121 kk（C）增加了两项，又减少了；) 1(21 121 kk11 k（D）增加了一项，又减少了一项；) 1(21 k11 k6、某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命*)(Nkkn1 kn题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得( )5n (A)当时，该
3、命题不成立 (B)当时，该命题成立6n6n (C)当时，该命题成立 (D)当时，该命题不成立4n4n 7、将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标 号与所填数字均不相同的填法有（ ） （A）6 种 （B）9 种 （C）11 种 （D）23 种8、从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有 双的取法种数为（ ）541 （A） （B） （C） （D）601202402809、的展开式中的系数是（ ）342(1)(1)(1)nxxx2x（）（）（）（）3 3nC3 2nC3 21nC3 31nC10、设函数0( )f xx在可导，则000()(3 )l
4、im tf xtf xt t（ ）（A） 0()fx （B） 02()fx （C） 04()fx （D）不能确定11、如图是函数的大致dcxbxxxf23)(图象，则等于（ ）2 22 1xx （A） （B） （C） （D）32 34 38 31212、已知函数的图像如右图所示（其中是函数)(xf xy)(xf ，下面四个图象中的图象大致是 （ ）)( 的导函数xf)(xfy （A） （B） （C） （D） 二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）13、设复数 z 满足（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为_.iiz46)32(14、的展开式中，常数项为 （用数字作答）
5、912xx15、曲线在点（1，1）处的切线与 x 轴、直线所围成的三角形的面积为 . 3xy 2x16、如图，在梯形ABCD中，()ABDCABaCDb ab，若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为:m n，则可推算出：mambEFmm试用类比的方法，推想出下述问题的结果在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰ADBC，相交于O点，设OAB，OCD的面积分别为12SS，EFAB且EF到CD与AB的距离之比为:m n，则OEF的面积0S与12SS，的关系是 .高二数学（理科）期中试题 第 2 页 共 4 页三、解答题（共 6 小题，满分 70 分。其中第 17 题 10 分，其余各题各 12 分。
6、要求：把计算及要求：把计算及 推理论证过程写在答题卷上，写在试卷上无效推理论证过程写在答题卷上，写在试卷上无效）17、在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项 .x421x18、m 取何实数时，复数immmmmz)152(3622 （1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？19、求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大20、如图，抛物线上有一点，过点引抛物线的切线 分别交轴2yx2()A aa，(01)a，Alx与直线于两点，直线交轴于点1x BC，1x xD （1）求切线 的方程；l（2）求图中阴影部分的面积，并求为何值时，有最小值？(
7、 )S aa( )S a21、若，观察下列不等式：，), 3 , 2 , 1(0nixi4)11)(2121xxxx，请你猜测将满9)111)(321321xxxxxx)111)(2121 nnxxxxxx足的不等式，并用数学归纳法加以证明。22、已知函数，其中是的导函数3( )31f xxax( )( )5g xfxax( )fx( )f x（1）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；11a a( )0g x x（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一2am m( )yf x3y 个公共点高二数学（理科）期中试题 第 3 页 共 4 页参考答案参考答案(高二理数高二理数
8、)一、选择题 DADBC DBBDC CC 二、填空题13、2 14、672 15、 16、12 0m Sn SSmn38三、解答题17、解：前三项系数为 C ，C ，C ，由已知 C =C +C ，即 n29n+8=0，0 n211 n412 n1 n0 n412 n解得 n=8 或 n=1（舍去）.T=C （）8r（2）r=C x. 4Z 且 0r8，rZ，1rr 8x4xr 8r21434r43rr=0，r=4，r=8.展开式中 x 的有理项为 T1=x4，T5=x，T9= x2.835 256118、解：（1）当 0301522mmm时，即 35 35 mmmm即时或5m时，z 是实数
9、（2）当 0301522mmm时，即 335 mmm且当5m且3m时，z 是虚数（3）当 0152030622mmmmm时即 35323mmmmm且或当3m或2m时，z 是纯虚数19、已知：圆和正方形的周长相等，均为l，求证：.正方形圆SS证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l，依题意，圆的面积为2 2l ，正方形的面积为24l 因此要证： 也就是证：11 4正方形圆SS只需证明：22 24ll 因此，只需证明：4要证明上式，只需证明：222 416ll上式是显然成立的，所以22 24ll 这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大20、解：（1），切线 的方程
10、是，即2yx2yxl22 ()yaa xa；220axya（2）， 12aBD 22CDaa3211(44 )24BCDSBD CDaaa120( )BCDS ax dxS3211(44 )34aaa令，21( )(384)4S aaa 1(2)(32)4aa ( )0S a(01)a，2 3a当时，；当时，203a，( )0S a213a，( )0S a时，有最小值2 3a( )S a21、解：将满足的不等式为，证明如下：)2()111)(22121nnxxxxxxnn当时，结论成立；012n假设时，结论成立，即02kn 22121)111)(kxxxxxxkk那么，当时，1 kn)1111
11、)(121121 kkkkxxxxxxxx)111)(2121 kkxxxxxx1211)(kkxxxx 21111(xxxk2221212) 1(121)111)(21)1kkkxxxxxxkxkk k显然，当时，结论成立。1 kn由、知对于大于的整数，成立。01022n22121)111)(nxxxxxxnn22、解：（1）由题意，得，22( )335(3)35g xxaxax ax设，2( )(3)35ax ax11a 对中任意值，恒有，即，11a a( )0g x ( )0a即 解得(1)0 ( 1)0 ， ，2232080xxxx，213x故时，对满足的一切的值，都有；213x ，1
12、1a a( )0g x （2），22( )33fxxm当时，的图象与直线只有一个公共点；0m 3( )1f xx3y 当时，列表：0m x()m ，m()mm，m()m ，( )fx00 ( )f xA极大值A最小值A，32( )()()311f xf mmm m 极小高二数学（理科）期中试题 第 4 页 共 4 页又的值域是，且在上单调递增，( )f xR()m ，当时，函数的图象与直线只有一个公共点xm( )yf x3y 当时，恒有，由题意，得，xm ( )()f xfm3|)|()(mfxf极大即， 解得3221213m mm 33(2 0)(02)m ，综上，的取值范围是m33(22)，
