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1、2018 高考数学备考百日闯关江苏专版专题高考数学备考百日闯关江苏专版专题 1.1 以以 零点为背景的填空题附解析零点为背景的填空题附解析专题一专题一 压轴填空题压轴填空题第一关 以零点为背景的填空题【名师综述】本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的。要注意函数零点、方程的根、不等式解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用.【典例解
2、剖】类型一类型一 周期函数零点个数问题周期函数零点个数问题典例 1 设是定义在且周期为 1 的函数，在区间上, 其中集合( )f xR0,1)2,( ),xxDf xxxD，则方程的解的个数是 .1,*nDx xnnN( )lg0f xx【答案】8因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此 10n mq p10()nmq plg xQ因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等，lg xxD只需考虑与每个周期 的部分的交点，lg xxD【名师指点】将给定区间的根的个数问题转换为熟悉函数图像在给定区间的交点个数问题,利用周期性和偶函数正确作图以及判断端点函数值的大小是解题关键求解零点问题时
3、，往往转化为的根求解，( )0f x 若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图像的交点问题求解【举一反三】已知是以为周期的偶函数，当时，那么在区间内，关( )f x20,1x( )f xx( 1,3)于的方程有个根，则的取值范围是 x( )()f xkxk kR4k_.【答案】B. 104k类型二类型二 复合函数的零点个数问题复合函数的零点个数问题典例 2 已知函数 .若函数有个零点， 221,0, ,0,xaxaxf xlnxx 21 2g xxa yf g x4则实数的取值范围是_.a【答案】51,11,2【解析】令 0,f ttg x当时有两个零点，需 10a f t121,1tt
4、 1 211aa 当时有三个零点， ， 所以函数有 5 个零1=0a f x1231,0, =2ttt 1 21a Q yf g x点，舍；当时，由于10a1 21a 所以 ，且 ，所以 24440aa 211 2aaaa 5-112a综上实数的取值范围是a51,11,2【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程 ( )0f g x( )0f t ( )g xt中求 ，再带入方程中求的值( )0f t t( )g xtx【举一反三】若函数有极值点，且，则关于的方程 32f xxaxbxc1x2x 11f xxx的不同实根的个数是 2320f xaf xb_.【答案】3类型
5、三类型三 分段函数（或含绝对值函数）的零点个数问题分段函数（或含绝对值函数）的零点个数问题典例 3 已知函数，若直线与交于三个不同的点， ,0 21,0lnx xf xxxyax yf x ,A m f m， （其中） ，则的取值范围是_ ,B n f n ,C t f tmnt12nm【答案】 （1， ） 1ee【解析】作出函数，的图象如图： ,0 21,0lnx xf xxx设直线 y=ax 与 y=lnx 相切于（x0，lnx0） ，则，0 01y| xxx曲线 y=lnx 在切点处的切线方程为 ylnx0=（xx0） ，01 x把原点（0，0）代入可得：lnx0=1，得 x0=e要使直
6、线 y=ax 与 y=f（x）交于三个不同的点，则 n（1，e） ，联立，解得 x=1 21yxe yx1 2e em（,） ，（2， ） ，1 2e e1 21 m12e 的取值范围是（1， ） 12nm1ee故答案为：（1， ） 1ee【名师指点】分段函数与含绝对值函数典型特征为各段解析式不一致，不仅要考虑对应性，而且需考虑自变量在结合点情况及值域包含关系【举一反三】已知函数，且在上的最大值为，若函数 21 2f xxmxxR yf x0,2x1 2有四个不同的零点，则实数的取值范围为_. 2g xf xaxa【答案】0,1【解析】有一个根， 得，此时函数有三个不同的零点，要使221202
7、axxx0 1a 2g xf xax函数有四个不同的零点， 与有两个交点，则抛物线 2g xf xax2yax2122yxx 的开口要比的开口大，可得， ，即实数的取值范围为，故答案为2yax2yx1a 01a a0,1.0,1【精选名校模拟】1. 设函数是偶函数，当x0 时， =，若函数 有四个 f x f x3,03, 31,3xxxxx yf xm不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】91,4【解析】作图，由图可得实数m的取值范围是91,42. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有 4 个不同解，则k 2,0 1 ,0xxf xx lnx x x 2f xkx实数的取值集合为_ k
8、【答案】30,e【解析】画出函数的图象如图所示： 2,0 1 ,0xxf xx lnx x 过点2ykx0,2当时，显然不满足题意，故0k 0k 在上与函数有一个交点2ykx,0 f x在上与函数有三个交点，且由图所示在上与函数有一个2ykx0, f x2ykx0,1 f x交点设直线与的图象在相切的切点坐标为，则， 2ykx 1,yf xx,m nlnnm2nkm 1fxx1km， ， 3n 3me3ke实数的取值范围是k30,e3.设定义域为的函数，若关于的方程有R|1|251 0( )44 0xxf xxxxx22( )(21) ( )0fxmf xm个不同的实数解，则 m=7_.【答案
9、】2【解析】题中原方程有个不同的实数根，即要求对应于等于22( )(21) ( )0fxmf xm7 f x某个常数有个不同实数解和个不同的实数解，故先根据题意作出的简图：34 xf由图可知，只有当时，它有三个根，故关于的方程有一个实数 4f x x22( )(21) ( )0fxmf xm根，或，时，方程42244-4 210mm2m 6m6m22( )(21) ( )0fxmf xm或,有 5 个不同的实数 4036132xfxfxf 9xf根，2m4已知函数满足，当时，若在区间内，曲线)(xf)1()(xfxf 3 , 1xxxfln)( 331，轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是x
10、axxfxg与)()(a_.【答案】 e1 3ln3，5已知函数是定义域为的偶函数. 当时，若关于( )yf xR0x 5sin() (01)42( )1( )1 (1)4xxx f x x 的方程（）,有且仅有 6 个不同实数根，则实数的取值范围是x2 ( )( )0f xaf xb, a bRa_.【答案】599(,)(, 1)244U【解析】作出的图象如下，又函数是定义域为的偶函数，5sin() (01)42( )1( )1 (1)4xxx f x x ( )yf xR且关于的方程，有且仅有个不同实数根，x2 ( )( )0f xaf xb, a bR6的两根分别为， 或，20xaxb1
11、5 4x 2514x101x2514x由韦达定理可得，若，则，即，axx21451 ,4521xx25 49a49 25a若，则，即，从而可知或；101x2514x491a149a49 25a149a6定义在上的函数满足，当时，,则函数R f x 516f xf x1,4x xxxf2)(2在上的零点个数是_. f x0,2016【答案】6057已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值x2 2xkkx1,1kkk范围是_.【答案】01k【解析】在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，方程( )f xxk2( )2g xkx在区间有两个不同的根xk2 2kx1,1kk，解之
12、得，.00 2(1)(1)112kkf kg kkkk k 01k864224681510551015A8已知定义在上的偶函数满足，且当时，R( )f x(4)( )fxf x( 1,3x ，则函数的零点个数是2,( 1,1 ( )1 cos,(1,32xx f xx x ( )( ) |lg|g xf xx_.【答案】109.已知函数若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值311,( )11,xf xxxx x( )(1)f xk xk范围是 【答案】1(0, )2【解析】作函数及图像，由图可知要使关于的方程( )yf x(1)yk x(11), ( 1,0)AB ，x有两个不同的实数根，须满足( )(1)f xk x1(0,)(0, ).2ABkkBA10. 若函数，在区间上有两个零点，则实数的取值范围为_2,0 ln ,0xa xyxax x2,2a【答案】0,2ln2
