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1、12013 届南通市数学学科基地试卷数 学 I一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答卷纸的相应分请把答案填写在答卷纸的相应 位置上位置上1 ,若对应点在第二象限,则 m 的取值范围为 2zmimR1 1z i 2.已知全集，集合，则中UR250AxZxx40Bx x()UC ABI最大的元素是 3已知，若函数的最小正周期是 2,(cos,sin)(0),(1, 3)mxxnu rr( )f xm nu rr则 (1)f4.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: 5已知函数，则的单调减区间是 ( )f x 12
2、tanxx(0,)2x( )f x注注 意意 事事 项项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答 必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚 4 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5 请保持答题卡卡面清
3、洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔1i 4x While 10i 2xxi 3ii End While Print “”x x26在数轴上区间内，任取三个点，则它们的坐标满足不等式：3,6, ,A B C的概率为 ()()0ABBCxxxx7P 为抛物线上任意一点，P 在轴上的射影为 Q，点 M（4，5） ，则 PQ 与 PM24yxy长度之和的最小值为： 8、设,m n是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，下列正确命题序号是 (1)若 m,n,则 mn， (2)若则,mmn/ /n(3)若，且，则；(4)若，则mnmnm/m9. 定义在上满足:，当时，=，R(
4、)f x(2)( )1f xf xg(0,2)x( )f x1( )2x则= (2011)f10.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，20 20 20xy y xy P22:1O xy,A B记，则当最小时 APBcos 11.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ，他们是由整数的倒数组成的，第行有n 个n数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，1(2)nn如：，则第行第 3 个数字是 111 111 111,122 236 3412(3)n n 12. . 已知正方形的坐标分别是,，动点 M 满足：ABCD( 1,0)(0,1) (1,0)(0, 1)则 1 2MBMD
5、kk gMAMC13. “”是“对正实数x，”的充要条件，则实数 1 8a 2axcxc 14.函数的定义域为,若满足在内是单调函数,存在,使( )f xD( )f xD, a bD3在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对( )f x, a b, ba ( )yf x( )2f xxk 称函数, 那么的取值范围是 k 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应 写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本题满分 14 分)已知二次函数 f (x)=x2+mx+n 对任意 xR，都有 f (x) = f (2x)成立，设向量= ( sinx , 2 ) ，
6、= (2sinx , )，= ( cos2x , 1 )，=(1,2)，ab12cd（）求函数 f (x)的单调区间；（）当 x0,时，求不等式 f ()f ()的解集.abcd16(本题满分 14 分) 在如图的多面体中，平面，,，EFAEBAEEB/ADEF/EFBC ，是的中点24BCAD3EF 2AEBEGBC() 求证：平面；/ABDEG () 求证：；BDEG ()求多面体的体积. ADBEG17(本题满分 14 分)已知双曲线的两焦点为，为动点，若2 212xy12,F FP124PFPF（）求动点的轨迹方程；PE（）若，设直线 过点，且与轨迹交于、两点，12( 2,0),(2,
7、0),(1,0)AAMlMERQ直线与交于点试问：当直线 在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，1AR2A QSlS请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由ADFEBGC4BA1A2COA318(本题满分 16 分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为 4m，圆心为 O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环 呈水平状态，并且与天花板的距离为 2m，在圆环上设置三个等分点 A1，A2，A3。)(OB即点 C 为上一点（不包含端点 O、B） ，同时点 C 与点 A1，A2，A3，B 均用细绳相连接，OB 且细绳 CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为y （1）设CA1O = (rad
8、)，将 y 表示成 的函数关系式； （2）请你设计，当角 正弦值的大小是多少时，细绳总长 y 最小，并指明此时 BC 应为 多长。19(本题满分 16 分)已知，数列有（常数） ，对任意的正整数 napaaa21,0p，并有满足。nnaaaSnL21,nS2)(1aanSn n（1）求的值；a（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由； na（3）令，是否存在正整数 M，使不等式恒2112nnnn nSS SSp122npppnML成立，若存在，求出 M 的最小值，若不存在，说明理由。20(本小题满分本小题满分 16 分分)已知函数 xxxfln(1)求的单调区间；
9、 xf(2)若关于的不等式对一切都成立，求范围；xmxx ln02 ,aaaxm5(3)某同学发现：总存在正实数使，试问：他的判断是否正确；,babaabba 若正确，请写出的范围；不正确说明理由a数学数学（附加题）（附加题）23 【必做题】本题满分 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 （矩阵与变换）矩阵与变换）求矩阵 M=的特征值及其对应的特征向量. 12212. （坐标系与参数方程坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆 C 的参数方程为，xoy sincos3 yx其中为参数.以 O 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为x.求椭圆 C 上的点到直
10、线 l 距离的最大值和最小值.63)3cos(2二必做题必做题 每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤3. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，111CBAABC AC，M 是的中点，N 是 BC 的中点，点 P 在直线上，ABACABAA，111CC11BA且满足.111BAPA（）当取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角最大？（）若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为，试确定点 P 的位置.o451A1BPNMABC1C64. 已知数列满足：. na)2(3, 31 1naana n（）求证：使；,*
11、NmNnn34nnma（）求的末位数字.2010a数学参考答案1. 2. 3 3.1 4. 28 5.( 1,1)(,)4 2 6.的实质是点在点之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为()()0ABBCxxxxB,A C1 37.7. 解析：焦点=,而的最小值是341(1,0)FPMPQ1PMPFPMPF8. (3) (4) 34MF 9.9.2 1010 当离圆最远时最小，此时点坐标为：记，POP4, 2APO则，计算得= 2cos1 2sin cos9 1011.11. ， 2 (1) (2)nnn12.12.设点M的坐标为( , )x y，111 2yy xx 整理，得1 2MBMDkk
12、g2 212xy（0x ） ，发现动点 M 的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以,A C2 2MA MC13.13. 若则不符合题意，若则于是，亦可转化为0,c 0,a 0,c 2 ,8ca 21188cc二次函数恒成立展开讨论。22axcx 14.14.由于在上是减函数，所以关于的方程( )2f xxk,222akabkb x在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得2xkx ,292,4k715解；（1）设 f(x)图象上的两点为 A(x,y1） 、B(2x, y2） ，因为=1 (x)(2x)2f (x) = f (2x)，所以 y1= y2 由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线
13、x=1 对称，x1 时，f(x)是增函数 ；x1 时，f(x)是减函数。（2）=（sinx，2）（2sinx, ）=2sin2x11，ab12=（cos2x，1）(1,2)=cos2x21，cdf(x)在是1，+）上为增函数，f ()f ()f(2sin2x1) f(cos2x2)abcd2sin2x1cos2x21cos2x1cos2x2cos2x02k2x2k,kz2 23kxk, kz 0x x4 43 4 43综上所述，不等式 f ()f ()的解集是： x|x 。abcd4 4316解：()证明：，./ /,/ /ADEF EFBC/ /ADBC又,是的中点， ，2BCADGBC/
14、/ADBG四边形是平行四边形， . ADGB/ /ABDG 平面，平面，平面. AB DEGDG DEG/ /ABDEG ()证明：平面，平面， EF AEBAE AEBEFAE又，平面，平面. ,AEEB EBEFEI,EB EF BCFEAE BCFE过作交于，则平面.D/ /DHAEEFHDH BCFE 平面， . EG BCFEDHEG，四边形平行四边形，/ /,/ /ADEF DHAEAEHD2EHAD，又，2EHBG/ /,EHBG EHBE四边形为正方形， BGHEBHEG又平面，平面,平面. ,BHDHH BHIBHDDH BHDEGBHD平面, . BD BHDBDEG () 平面，平面， EF AEB/ADEFEFAEB 由（2）知四边形为正方形，. BGHEBCBE
