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1、利用空间向量证明线面平行问题利用空间向量证明线面平行问题向量是高中数学的新增内容，是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。线面平行是立体几何的一个重要内容，是面面平行等内容的基础，也是学生学习的一个难点和重点，若我们能充分应用好向量这个工具的特点，发挥它的双重属性，能起到事半功倍的效果。一、应用空间共线向量定理：由平面外的一条直线和平面内一条直线共线，得到线面平行。例 1 、 （2004 年天津）在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点。证明：PA/平面 EDB。Y GEBADCPX
2、Z证明：如图所示建立空间直角坐标系 D 为坐标原点，设 DC=a，连结 AC，AC 交 BD 于G，连结 EG。依题意得 A（a，0，0） ，P（0，0，a） ，E（0，） 。底面 ABCD 是正方形，2a 2aG 是此正方形的中心，则点 G 的坐标为（，0） ，=（a，0，-a） ，2a 2aPA=（，0，-）=2，PEG，PA/EG，而 EG平面 EDB，PAEG2a 2aPAEG平面 EDB，PA/平面 EDB。二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理，我们可得到如下的性质：如图，已知直线 L 不在平面 内，取直线 L 上的任一非零向量，平面 中存在两个不共线向量n，若存在唯一的实数对
3、1，2，使得=1+2，则 L/。 abnabLnba证明：由=1+2知，与共面，因此/，由直线 L 不在平面 内得到nabnabnL/。例 2 、已知平行四边形 ABCD，P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别为PC，PB 的中点；求证：MN/面 PAB。PNMABCD证明：构造向量，和。MNAPABPCCB=（+）=（+）=（）MN21PCCB21ACAPCB21ABAPMN/面 PAB例 3、 已知四边形 ABCD 是正方形，S 是平面 ABCD 外一点，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1。求证：SB/平面 PMN。OC
4、ABDS PMNXYZ证明：如图，连结 AC 与 BD 交于 O，连结 SO，易证 SO平面 ABCD ，由四边形ABCD 为正方形知 BDAC，如图建立空间直角坐标系 O-XYZ。构造向量，与SBPN，令 BC= ，SO=1，PM2由题目已知可得坐标：O（0，0，0） ，S（0，0，1） ，A（0，-1，0） ，B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，D(-1，0，0)，所以 P（-，0，） ，M（0，） ，31 32 32 31N（0，-，） ，则=（1，0，-1） ，=（，-，-） ，=（，-） ，32 31SBPN31 32 31PM31 32 31所以=+，所以 SB/平面 PMN。
5、 SB23PN23PM三、应用法向量：如果能证明平面外直线的方向向量垂直平面的法向量，得到线面平行。例 4 、已知四边形 ABCD 是正方形，S 是平面 ABCD 外一点，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1，求证：SB/平面 PMN。OCABDS PMNXYZ证明：从例 3 可知=（1，0，-1） ，=（，-，-） ，=（，-SBPN31 32 31PM31 32） ，由，可得到平面 PMN 的法向量=（-1，0，1） ，则=0，所以31PNPMnSB nSB，得到 SB/平面 PMN。n从上述问题中可以看到，在解决线面平行问题时一定要善于运用向量的代数属性，能融数形于一体的属性。通过代数的方法解决立体几何的空间问题，降低了立体几何的空间难度，给学生一个比较低的门槛，值得我们深入思考。
