《高等数学教学教案§3 3 泰 勒 公 式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学教学教案§3 3 泰 勒 公 式（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761173. 3 泰 勒 公 式 第 1 页 共 3 页3. 3 泰泰 勒勒 公公 式式授课次序授课次序 20教教 学学 基基 本本 指指 标标教学课题教学课题3. 3 泰 勒 公 式教学方法教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点教学重点函数极限的概念与性质教学难点教学难点概念的引入、极限的证明与性质的 推导参考教材参考教材同济大学编高等数学（第 6 版） 自编教材高等数学习题课教程作业布置作业布置高等数学标准化作业双语教学双语教学函数：function；微分：differential
2、calculus；中值定理：law of the mean； 课堂教学课堂教学 目标目标1 理解泰勒中值定理； 2 并会用泰勒中值定理解决简单问题教学过程教学过程1泰勒多项式（25min） ； 2泰勒中值定理（20min） ； 3泰勒中值定理解决简单问题（45min）教教 学学 基基 本本 内内 容容3. 3 泰泰 勒勒 公公 式式对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道 当|x|很小时 有如下的近似等式 e x 1x
3、ln(1x) x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是精确度不高 这所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大小 因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出误差公式 设函数 f(x)在含有 x0的开区间内具有直到(n1)阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于(xx0 )的 n 次多项式p n(x)a 0a 1(xx0 ) a 2(xx0 ) 2 a n (xx0 ) n来近似表达 f(x) 要求 p n(x)与 f(x)之差是比(xx0 ) n高阶的无穷小
4、并给出误差| f (x) p n (x)|的具体表达式 我们自然希望 p n(x)与 f(x)在 x0 的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等 这样就有p n(x)a 0a 1(xx0 ) a 2(xx0 ) 2 a n (xx0 ) n p n(x) a 12 a 2(xx0 ) na n (xx0 ) n1 p n(x) 2 a 2 32a 3(xx0 ) n (n1)a n (xx0 ) n2 p n(x) 3!a 3 432a 4(xx0 ) n (n1)(n2)a n (xx0 ) n3 p n (n)(x)n! a n 备注栏备注栏六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.
5、hk qq：745924769 tel：153273761173. 3 泰 勒 公 式 第 2 页 共 3 页于是 pn (x0 )a 0 p n (x0 ) a 1 p n (x0 ) 2! a 2 p n (x) 3!a 3 p n (n)(x)n! a n 按要求有 f(x0)p n(x0) a0 f (x0) p n (x0) a 1 f (x0) p n (x0) 2! a 2 f (x0) p n (x0) 3!a 3 f (n)(x0) p n (n)(x0)n! a n 从而有 a 0f(x0 ) a 1f (x0 ) )(! 21 02xfa )(! 31 03xfa )(!
6、1 0)(xfnann(k0 1 2 n) )(!1 0)(xfkak k于是就有 pn(x) f(x0) f (x0) (xx0)(xx0) 2 (xx0) n )(! 21 0xf )(!1 0)(xfnn泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数 f(x)在含有 x0的某个开区间(a b)内具有直到(n1)的阶导数 则当 x 在(a b)内时 f(x)可以表示为(xx0 )的一个 n 次多项式与一个余项 R n(x)之和 其中)()(!1)(! 21)()()(00)(2 00000xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn (介于 x0与 x 之间)10) 1()()!1()()(nnnxx
7、nfxR这里 多项式 nn nxxxfnxxxfxxxfxfxp)(!1)(! 21)()()(00)(2 00000 称为函数 f(x)按(xx0 )的幂展开的 n 次近似多项式 公式 200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!1 00)(xRxxxfnnnn称为 f(x)按(xx0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式其中(介于 x 与 x0之间) 称为拉格朗日型余项 10) 1()()!1()()(nnnxxnfxR当 n0 时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式 f(x)f(x0 )f ()(xx0 ) (在 x0 与 x 之间) 因此 泰勒中
8、值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的 n 当 x 在区间(a b)内变动时 |f (n1)(x)|总不超过一个常数 M 则有估计式 及 1010) 1(|)!1(|)()!1()(| | )(|nnnnxxnMxxnfxR0)(lim 0)(0nxnxxxxR可见 妆 x x0时 误差|R n(x)|是比(xx0 )n高阶的无穷小 即 R n (x)o(xx0 ) n 在不需要余项的精确表达式时 n 阶泰勒公式也可写成 200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!1 000)(nnnxxoxxxfn当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式 就是)(!
9、) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2xRxnfxfxffxfnnn 或 其中)(!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 1) 1()!1()()(nnnxnfxR由此得近似公式 nnxnfxfxffxf!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2 六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761173. 3 泰 勒 公 式 第 3 页 共 3 页误差估计式变为 1|)!1(| )(| nnxnMxR例 1写出函数 f(x)e x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 f(x)f
10、 (x)f (x) f ( n)(x)e x 所以 f(0)f (0)f (0) f ( n)(0)1 于是 (0) 12 )!1(!1! 211 nxnxxnexnxxe并有 nxxnxxe!1! 2112 这时所产性的误差为 |R n(x)|x n1| x | n1 )!1( nex )!1(| nex当 x1 时 可得 e 的近似式 !1! 2111nex 其误差为 |R n | )!1(3 )!1(nne例 2求 f(x)sin x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 f (x)cos x f (x)sinx f (x) cos x xxfsin)()4()2sin()()(nxxfnf (0)0 f (0)1 f (0)0 f (0)1 f ( 4)(0)0 于是 )()!12() 1( ! 51 ! 31sin212153xRxmxxxxmmm 当 m1、2、3 时 有近似公式 sin xx 3 ! 31sinxxx 53 ! 51 ! 31sinxxxx教教学学后后记记
