“动量守恒”中的经典模型与类比解题 专题辅导 不分版本 高中物理经典复习资料（AA级）动量守恒

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1、1“动量守恒动量守恒”中的经典模型与类比解题中的经典模型与类比解题庄盛文庄盛文一、人船模型一、人船模型例 1 在平静的湖面上停泊着一条长为 L，质量为 M 的船，如果有一质量为 m 的人从船的一端走到另一端，求船和人 相对水面的位移各为多少？解析：设人从船的一端走到另一端所用时间为 t，人、船的速度分别为，由人、船整个系统在水平方向上满vv人船、足动量守恒，则：mvMvmstMst ssLsM MmLsm MmL人船人船人船人船即解、两式得（ ）（ ）00121212模型特征：模型特征：1. 无关；sM MmLsm MmLss人船船人，、的大小和人运动的时间和运动状态2. 由（1）（2）得，在

2、系统满足动量守恒的方向上，人船的位移与质量成正比；ssM m人船3. 对，分式中的分子 m 为船上一端移到另一端的“净质量”，分母 M+m 为船和船上所有物体的质sm MmL船而言 量和。类比解题：类比解题：1. 在冰面上静止着质量为 M、长为 L 的车，车的一端由一名士兵进行实弹射击在车另一端的靶子，已知士兵和其武器装备的质量为 m，每颗子弹的质量，当士兵发射了颗子弹后稍做休息，又发射了颗子弹，并全部击中靶子，求车m1n1n2后退的距离_。解析：车、人和子弹三者构成的体系在水平方向上满足动量守恒，从车的一端移到另一端的净质量为，()nnm121由模型特征得2。snnm MmL车 ()1212

3、. 在距离地面高 h 处的气球上站有一人，人和气球的质量分别为 m 和 M，开始两者均静止，人要沿绳安全的滑到地面 上，绳至少多长？解析：人和气球两者在竖直方向上满足动量守恒，人滑到地面相对地的位移为，设球上升的高度为，绳长sh人s球至少为 L，则由得。ssm M球人sm Msm Mh球人所以绳子长至少为。Lsshm Mh人球3. 在光滑水平面上有一质量为 M 的斜劈，斜劈斜面与水平面的夹角为，斜面长为 L，斜劈的顶端有一质量为 m 的小 球，当小球滑到斜劈的低端时，求斜劈后退的距离。解析：小球和斜劈两者组成的系统在水平方向上满足动量守恒，斜劈斜面长在水平方向的投影。Lsin由上面的模型特点得

4、斜劈后退的距离。sm mMLM sin二、子弹打木块模型二、子弹打木块模型例 2 如图 4 所示，质量为 M 的木块放在光滑的水平面上，质量为 m 的子弹以初速度水平射向木块，设木块没有被v0射穿且子弹受到的阻力 f 恒定，求（1）木块的最大速度；（2）木块的最短水平长度；（3）木块的速度达到最大时，子弹射入木块的深度与木块的位移之比；（4）子弹与木块相对运动过程系统产生的内能。3解析：（1）当木块与子弹的速度相等时，木块的速度最大，由动量守恒列式v1mvMm vvmv Mm01101()得（2）子弹和木块对地的位移不相等，木块未被击穿，表明木块的水平长度应不小于两者位移之差，即Lssfsmv

5、mvfsMvf ssmvmM v12102 122121202 122 1 21 231 2434 1 21 25对子弹有：对木块有：由、两式得()()由、式得，所以木块的最短水平长度为LMmv f mM022 ()LminMmvf mM022 ()（3）设子弹进入木块的深度为 d，联立、式得d sMm m2（4）系统增加的内能等于系统减少的动能EmvmM vk1 21 2602 12()由、得表示子弹原有动能，系统内能增加。EM mMmvEkk1 2020()，EM mMEkk0模型特征：模型特征：当子弹和木块的速度相等时木块的速度最大，两者的相对位移（子弹射入的深度）取得极值；系统的动量守

6、恒，但系统的机械能不守恒，系统内力与两者相对位移的乘积等于系统机械能的减少，当两者的速 度相等时，系统机械能损失最大；由上式可以看出，子弹的质量越小，木块的质量越大，动能损失越多；根据能量守恒，系统损失的动能等于系统其他形式能的增加；EM mMEkk0解决该类问题，既可以从动量、能量两方面解题，也可以从力和运动的角度，借助图像求解。类比解题：类比解题：41. 质量为的小木块以水平速度为滑上一个静止在光滑地面上的平板车，如图 5 所示，平板车mkg105 .vm s130/的质量，若木块没有滑出平板车，它们之间的动摩擦因数为，求mkg220 . 030.gm s 102/（1）求整个系统损失的机

7、械能；（2）这一过程所经历的时间。解析：（1）整个系统损失的能量为：Em mmEJkk2122020 251 20530180. .()（2）以为研究对象，受到水平向右的恒力m2fm gftm vm vmmvtm v g mms12111221121231238由动量定理对整个系统有由，得()()2. 如图 6 所示，两根足够长的固定的平行的金属导轨位于同一水平面上，两根导轨间的距离为 L。导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形回路。两根导体棒的质量均为 m，电阻分别为，回路中其余部分的电阻不计。在整RR12和个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 B，两导体棒均可沿导轨

8、无摩擦的滑行。开始时 cd 棒静止，棒 ab有指向棒 cd 的初速度，若两导体棒在运动中始终不接触，求在运动中 ab 棒产生的焦耳热是多少？v0解析：ab 棒向右切割磁感线运动，整个回路中有感应电流存在，在安培力的作用下，ab 棒做减速运动，cd 棒做加速 运动，当两棒的速度相等后，整个回路中的电流等于零，两棒保持向右做匀速运动。5两棒组成系统动量守恒，由上面的结论知，系统损失的动能等于系统产生的焦耳热，EkEEm mmvmv21 21 402 02ab 棒产生的焦耳热QR RREmR v RR112102124()3. 1919 年卢瑟福用粒子轰击一个静止的核发现质子。上面的核反应可以用下面

9、的模型来认识。运动粒子撞击714N一个静止的核，它们暂时形成一个整体（复合核），随即复合核迅速转化成一个质子和一个原子核，已知复合核发生714N转化需要 1.19MeV，要想发生该核反应，入射的粒子的动能至少为多少？解析：粒子撞击一个静止的核符合动量守恒，系统损失的动能转化为复合核转化所需要的能量为714N，所以入射粒子的动能。EM MmmvMeV1 211902.EmvMeVk1 215302.三、弹性球正碰模型三、弹性球正碰模型例 3 已知 A、B 两个弹性小球，质量分别为，B 物体静止在光滑的平面上，A 以初速度与 B 物体发生正mm12、v0碰，求碰后 A 物体速度为和 B 物体速度的

10、大小和方向。v1v2解析：因发生的是弹性碰撞，取方向为正方向v0由动量守恒m vm vm v1011221由机械能守恒1 21 21 22102 112 222m vm vm v由、两式得：vmm mmvvm mmv112120211202 ()，模型特征：模型特征：在碰撞过程中动量守恒、机械能守恒；当时，A 物体静止，B 物体以 A 的初速度运动，速度发生互换；mm12vvv1200，当，则，即物体 A、B 同方向运动，因，所以速度大小，即两小球mm12v10()mm mmm mm12121122 vv12不会发生第二次碰撞。其中当，即当质量很大的物体 A 碰撞质量很小的物体 B，物体 Am

11、mvv1212时，vv2026的速度几乎不变，物体 B 以 2 倍于物体 A 的速度和物体 A 同向运动。当时，则，即物体 A、B 反方向运动，其中，当时，即物体 A 以原速mm12v10mm12vvv1020，度的大小弹回，物体 B 静止不动。类比解题：类比解题：1. 如图 8，质量分别为 M、m（Mm）的母子球从高 h 处下落。试证明：大球与地面相碰后，小球从大球顶反弹的最大高度为。Hhmax 9解析：设母子球着地的速度为 v，由于 Mm，着地后，大球反弹，以速度 v 碰撞小球，小球获得竖直向vgh2上的速度 2v；同时小球以速度 v 碰撞大球，必然以速度 v 返回，所以小球以速度 3v

12、反弹，则小球从大球顶部反弹的最大高度为Hv gmax()3 22 9h。2. 带有光滑圆弧的轨道、质量为 M 的滑车静止于光滑的水平面上，如图 9 所示。一个质量为 m 的小球以速度水平1 4v0冲向滑车，当小球在返回并脱离滑车时，下列说法可能正确的是（ ）A. 小球一定沿水平方向向左平抛运动 B. 小球可能沿水平方向向右平抛运动C. 小球可能做自由落体运动 D. 小球可能做水平向右运动解析：小球滑上滑车，又返回，到离开滑车的整个过程中，相当于小球与滑车发生弹性碰撞的过程。如果 mM，小球离开滑车向右做平抛运动，故答案应 选 B、C、D。3. 如图 10 中两单摆的摆长相同，平衡时，两钢球刚好

13、接触，现将摆球 A 在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放，7碰撞后两球分开各自做简谐运动，以分别表示两摆球 A、B 的质量，则（ ）mmAB、A. 如果，下次碰撞发生在平衡位置的右侧mmABB. 如果，下次碰撞发生在平衡位置的左侧mmABC. 无论摆球质量之比是多少，下次碰撞都不可能发生在平衡位置的右侧D. 无论摆球质量之比是多少，下次碰撞都不可能发生在平衡位置的左侧解析：当时，A 球以与 B 球在平衡位置发生弹性碰撞，速度互换，A 球静止；当 B 球反向摆回，以的mmABv0v0速度与 A 球在平衡位置再次发生弹性碰撞，如此反复；当时，A 球与 B 球在平衡位置发生第一次碰撞，因，所以两球

14、同向右摆动，各经过半个周期后第mmABmmAB二次到达平衡位置。因两摆球的摆线等长，故两摆球的周期相等，所以两球同时到达平衡位置，在平衡位置发生第二次碰撞。同理，当，两球也在平衡位置发生第二次碰撞，故答案应选 C、D。mmAB四、平射炮反冲模型四、平射炮反冲模型例 4 光滑的水平面上静止一辆质量为 M 的炮车，当炮车水平发射一枚质量为 m 的炮弹，炮弹出口时有的火药能E1量释放，其中有的能量转化为系统的内能，求炮弹和炮车的动能各为多少？E2解析：炮弹和炮车组成的系统在水平方向上满足动量守恒，设炮弹和炮车的速度分别为，由动量守恒得vv12、，即动量大小关系mvMv120PP121设炮弹和炮车的动

15、能分别为，系统机械能的增加量为，则由能量守恒得EEKKmM和E8EEEEEEP m EEm MEm mMEEM mMEKKkKKKKmMMmMm1222231342412由动量和动能的关系得由、两式得由、两式得（ ）（ ）.模型特征：模型特征：在满足动量守恒的方向上，整个系统任意时刻的动量为零，即；PP120炮车和炮弹获得动能为；EM MmEEM mMEKKmm，让（1）式比上（2）式得，即炮弹和炮车获得动能与其质量成反比。EEm MKKMm类比解题：类比解题：1. 如图 11 所示，带有光滑的半径为 R 的圆弧轨道的滑块静止在光滑的水平面上，此滑块的质量为 M，一个质量为 m1 4 的小球静止从 A 点释放，当小球从滑块 B 处水平飞出时，求滑块的动能。解析：当小球从 B 点飞出时，小球和滑块在水平方向上满足动量守恒，由上面的模型特点的滑块获得的动能为Em MmEEmgREm gR MmKK12122 由、两式得2. 在光滑的水平面上放有质量分别为 M、m 的两小球，两球间放有一被压缩的轻质弹簧，其弹性势能为 E，释放弹簧， 两球被弹开，求小球 m 的最大速度。解析：当弹簧完全弹开后，由上面的模型特