弱肉强食模型

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1、3.103.10 弱肉强食模型弱肉强食模型1)1) 问题的提出问题的提出在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，种群之间捕食与被捕食的关系普 遍存在。两个弱肉强食的种群，其发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？2 2）模型假设）模型假设以)(1tx、)(2tx表示处于弱肉强食关系中甲、乙二种群在时刻t的数量，1、 甲种群只以乙种群为食物资源，11,ba为两个折算因子，分别表示一个单位 数量的甲物种维持其正常生存需占用的资源量、一个单位数量的乙物种为甲种群提供的资源量；甲种群数量的增长率)(1tx 与该种群数量)(1tx成正比，同时也与有闲资源)(1ts成正比。1r表示甲种群的固有增长率；2、 乙种

2、群可以独立存在，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”，2a表示一个单位数量的乙物种维持其正常生存需占用的资源量，22/1 aN 表示乙种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量。 乙种群数量的增长率)(2tx 可以分解为两部分考虑：其一，不考虑甲种群的影响，乙种群自由发展，其增长率与该种群数量)(2tx成正比，同时也与有闲资源)(2ts成正比，2r表示甲种群的固有增长率；其二，由于被甲种群捕 食造成乙种群增长的负面影响，称这一部分为被捕杀率，它与甲乙两个种群的数量均正相关，这里简单地设为服从正比例关系，比例系数取为22br 。3 3）模型建立）模型建立根据模型假设，可得如下数学

3、模型： 222211112122222211111xasxbxasxxbrsxrxsxrx 经化简，得： )1()(22122222111111 xaxbxrxxbxaxrx 4 4）模型求解）模型求解与前面两节一样，令模型方程的右端项： 0)1(0)(221222211111 xaxbxrxbxaxr，解之，得该模型的三个平衡点：)0 , 0(1P、)/1, 0(222aNP 、 2121121211 3,bbaaa bbaabP 。类似于在种群竞争模型中的讨论，我们可以得到平衡点)2 , 1( iPi均不稳定；下面我们讨论平衡点 2121121211 3,bbaaa bbaabP 的稳定性

4、，为此，将微分 方程 )1()(22122222111111 xaxbxrxxbxaxrx 的右端项以其在3P的一阶 Taylor 展式取代，构造线性动力系统： 21211 1 212121221211 1 2121212 221211 1 21212 1121211 1 2121111 1bbaaaxbbaaaar bbaabxbbaabarxbbaaaxbbaabr bbaabxbbaabarx此时系数矩阵 2121212212121221212 112121111bbaaaar bbaabarbbaabr bbaabarA，从而求得，0)(2121212111 bbaaaarbarATrp ，0|21211121 bbaabarrAq ，故平衡点3P是稳定的。此时，甲、乙两种群将共同存在下去，种群量一般将逐 渐趋于平衡状态。5 5）模型点评）模型点评本节与前面两节介绍了三个生态学模型，尽管所处理的对象均为多（二） 种群系统，但其基本假设，比如对其中的每一个种群数量变化的影响，除了在 “弱肉强食”模型中的被捕食者外，均只考虑了其自身数量与有闲资源两个要 素，这和人口的阻滞增长模型的讨论是一致的。