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1、2对一道试题的探索和研究 9年第 12期数学数 学 12一i718江苏 省徐州市 第一中学 袁长江新课程改革的核心任务是学习方式的转变，更新教与学的观念，转变教与学的方式，倡导“自主、合作、探究”的学习方式面对新课程改革，教师应重视课堂学习研究，重“教”更强调“学习”，教会学生自主探究，真正实现在探究过程中随时留下“知识烙印”本文以某地高三调研试题中的题目为例，谈对数学问题的探究过程的学习研究题目如图1，在边长为1的正三角形 B中，E、F分别为边AB、上的动点，满足 E：mAB，AF=nAC，其中仇、礼(0，1)，且 “In+礼=1，M、分别为EF、B的中点，求 lIM的最小值 B图l解析一在
2、B中，有 =1(+)；在EF中， I， _ ， ，、所以MN =击AB+ACAE F) 1 m*， =T“(1一n)(1一m)(1一礼) A。 A。 m+n_1】所J耐I。= = (m一)+而3故当m=时，Ji取得最小值结果说明，当E、F分别为AB、AC中点时， f耐f取得最小值，为B高的一半题目做毕，不禁要问：lI的最大值呢?由题目易知 Jl=(一)，故m壶+0m，若点E能取到或B时(Trt=0或1，不妨将题目条件“m、礼(0，1)”改为“m、n0，1，则 IMI能取到最大值去，此时 为AABC的中位线到这里，我们捕捉到了动线段M的3个位置(动点在高A、边AB、边的中点)，接下来，我们继续追
3、寻动点的运动轨迹以点为原点，边BC所在直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，则 E2、唯，故有()又nM， m+=删 (，)14mj-21所以动点M的运动轨迹为一条长 1的线段 (AABC的平行于边B的中位线) A BN图2于是，我们清楚地把握到动线段M的运动情况，并可以得到紧接着的一个问题的答案：随着点E、F分别在边AB、A上移动，动线段所扫过的区域(如图3阴影部分)的面积为。摸清了这个具体的“操作”(以动线段扫描三角形形成区域)及其结果后，我们继续探索：在余1218数学教学 2下的3个白三角形上进行这种操作，形成图4，继续下去，记第i(iN)次操作(原题中得到中点三角形区域的操作为第1次
4、操作)得到的阴影区域的面积为&，试探寻数列 )的通项公式 A NN图3 图4易知，S-= ()=等，=3 (刍。 ，=nl事)=S3实上，这就得到了“谢宾斯基三角形”图案深入无限操作下去，研究下去，还可发现：S c0 所剩白三角形面积和趋向于0，而周长和则趋向于无穷大以上，我们都是在探讨(从动杆”线段M)的运动，下面我们把研究的Error!Error!转向“主动杆” (线段EF)+提出问题：探求在点E由B移动到A的过程中，线段EF所扫过的区域的面积由前面的探究可知，动线段EF往上可扫至 B的边AB和，往下扫至的边界应该是一条曲线，可看成是动线段EF形成的“包络线” (如图5) 十A如 NBNG
5、图5 图6我们选取动线段EF的两种(无限靠近)状态EF和EF，如图6，则EF与F的交点G形成的轨迹即为EF扫过区域的下边界设A=mAB，AF=nAC，易知，fF：Y= (2m一1)x+x3m一仇+， zE，F，：Y= (2m，一1)+ m+，两式联立，消去得， =，当m _-+m时得到“络线”上的点的坐标为 ，(击一m，一 m。+ m)，所以该“包络线”的方程为Y=一 +由此，我们得到所求区域是由两条直线AB、和一条抛物曲线围成的(如图7)，设其面积为 = 2 (2一 +)如= A BN C图7百易知AABC中余下部分的面积为，即动线段EF形成的“包络线”将ABC分成上、下面积比为1：2的两部
6、分，这个过程可用于诸如观赏花园的设计与建造等我们考虑直线段对三角形的分割情况，继续提出问题：如图8，公园里有一块边长为2的等边的空地，现修成草坪，EF把草坪分成面积相等的两部分如果EF是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，EF的位置应在哪里?如果EF是参观线路，为能让游客尽兴，则希望它最长，EF的位置又应在哪里? BC图8设E=，EF=Y，则由 AEF=A口c可知， AF=2 (这里，问题的条件可改成向量形式：“E、F分别为边AB、 c上的动点，满足：m，2F：nAC，：，在AAEF中，由余弦定理可知， Y=、， +AF一2 -AFCOS60。： 所以，由基本不等式可知， =眄 = ，当且仅当X
7、2= X2即=、24上单调递增，()=厂(4)，所以Y =、AB(=1)或边AC(X=2)上的高时，参观路线F最长问题解决后，我们捕捉到了动线段EF的3个具体位置，再深入下去就是要抓住EF运动的每一个瞬间，EF中点的活动范围等，这里不再赘语，有兴趣的读者可继续探索下去(EF的轨迹如图9阴影部分) ，4 BC图9(上接第1216页) (说明：这个结论对尸点是否在形内无关) 证明：由+十得，0=AD。一DB。十 BE一EC +CF一FA，即为(AD+DB)(ADDB)+(BE+EC)(BE一 E )+(CF+FA)(CFF )=0， 提?3形。6 在文【2中已证；去”)2时， 取“=”，故 当EF
8、BC，且 AE=、2时， 灌溉水管EF 最短；又因 为函数，() =t+在 t【1，2 】上单调 递减，在 t，且 f1=53，即 当EF为AABC 边 (2)如图4由于AD十DB=BE+E 。 言J，_ 故 DDB+BEEC+CF+FA=0，即AD+BE+CF=DB+ECF，即如此继续，深感问题难以中断从对一道质量调研题的留意，到解决完后提出新问题，进行探究，几次反复，越发觉得整个高中数学的学习就是在编织着一张“大网”有人已经将这张大网分散地洒在了我们研究的路上，需要我们一步步努力探索，将整张网的每个结点都完美地连接上，这需要我们自己去劳作倘若只是将学过的知识进行系统的整理，也只得到一张看得
9、见的网，而问题的解决需要我们随时将网的一角拉过来仔细研究，这就需要我们灵活地将网的每一个局部都在头脑中形成深刻的印象对问题的再思考，能够很好地帮助学生完成“解决问题一提出新问题一解决新问题”的探究过程，通过联想新问题打破原有的知识体系，通过解决新问题重构新的知识体系，逐步形成一个复杂的，但又是关节清楚的、可随拆随组的知识系统到现在为止，原来的一个向量问题已经扩展到了包括函数、解析几何、数列、定积分、解三角形、不等式等在内的一个庞大体系继续下去，将涉及整个高中数学的知识结构导致这个数学知识结构的途径不是唯一的，可以是同题的纵向深度思考、可以是类题的横向比较研究、可以是某个实际背景的牵引等等这正印证了一句哲语：世事万物有联系参考文献 1】卢敏玲，唐田课堂学习研究：教师专业发展的平台J江苏教育研究，2】5 AD+BE+CF=DB+EC+FA； (3)如图5，由于AD+DB：一(BEEC) =CFFA：吾， 故 D D一r目E+E )+CF+FA： 0即 DBE+F9(5A)： 12一DB ECFA，即： ，AD+BE+CF：DB+Ec+FA(4)()一理得与3同可一 1彭翕成个等边三角形经典问题的探究 L一数学教学2【2曾镇华关于正三角形的几个结论J数 学教学，20() 28：5 9(6)： 23
