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1、年第期中学教研数学师请丙同学回答生丙 前面两幅图亮些,后两幅暗些什么叫单项式为引出单项式概念,教师在复习 了代数式的概念后,要求学生讨论黑板上的个代数式一,零的共同点,希望学生能回答出“都具有数与字 曰砂、一 、”,卜一目盯曰刁母的积或字母与字母的积的特点”问题提出,举手的学生还真不少生都有未知数师这里不叫未知数,叫字母生都是两个字母相乘,或数与字母相乘师对,还有呢生都有很多字母师 摇摇头生都是整式生字母取任意一个数都可以生它们算起来比较简便在第一个教学片段中,几个学生的回答没有一个让教师感到“正 中下怀”,是什么原因你认为对这个问题应该如何解决在第二个教学片段 中,学生的回答是踊跃的,思维是
2、开放的,但仍与第一个例子一样“启而不发”你觉得 问题出在哪里应怎么改进结合前面 的案例,我们还可以思考以下几个问题从数学概念的形成过程来看,探究性学习方式中教师的作用是什么在数学概念学习过程中,学生形成错误概念的原因是什么是教法问题还是学生本人的原因解题方法与技巧二解肠方法与技巧二解皿方法与技巧解题方法与技丁二解压方法与技巧二解硕方法与技巧二解肠方法与技巧二解烦方法与技巧解肠方法与杖巧中学教研中学教研 给构造法唱点反调管宏斌江苏通州高级 中学中学教研中学教研解肠方法与技宁解肠方法与技卜解肠方法与技巧二解题方法与技巧一解肠方法与技巧二解题方法与技巧二解肠方法与技巧二解肠方法与技巧二解肠方法与技巧
3、培养学生的创新思维能力是新课程理念下数学教学改革的一项重要目标构造 法是解决数学问题的一种重要方法,更是培养学生创新思维的有效途径 解题中的构造法是指依据题设的特点,假借已知条件中的元素为“元件”,依托己知数学关系为“支架”,构造出一种新的数学模型,沟通数学模型间的相互关系,从而转换命题,使相关问题得到迅速破解优美、自然的构造法常常是建立在学生已有的知识基础之上的,它生成于认知结构的最顶端,不仅能使学生强烈地感受到数学的美妙以及构造法的神奇,而且更能够使学生激发起探索的意识和创新 的欲望如果能够恰当运用构造法解题,可以突破思维的常规,使思路变得简捷、明快、精巧、灵活,可谓好处多多,但也不必过于
4、崇拜和迷信构造法,倘若在教学中刻意模仿和寻求,那就走上了极端为了“构造法”而故意构造,由此产生的高技巧将强制拔高学生的思维,会增加学生的挫折感,钝化学生思维的敏锐力这样做的结果是使得学生每做一道题都仿佛是进行一次“高空钢丝杂技”表演 长此以往,学生除了对数学产生心理疲惫感、畏惧感和神秘莫测的紧张感外,还能对数学产生什么美好的体验呢又怎能生发居里夫妇面对一克镭的幽蓝光线而欣喜若狂的成就感呢更何况,构造法本身也存在着一些不可 回避的缺点,比如 因适用范围较窄而带来适用性不强就是一个突出问题,导致出现“一题一构造”之类的现象,或者所给题目的背景非常特殊,或者干脆为了“构造法”而人为命制“构造题”实际
5、操作时,看起来解题过程似乎很简单,但实际上思维重心非常高,思维回路极不稳定同学们 常常既不易想到、也不 易掌握数学大师华罗庚在世时曾在多种场合说过“一个高明的数学教师应能把艰难的东西讲得深人浅出,讲容易了,把复杂的东西讲简单了如果反过来,那 就是水平低的表现”数学的魅力在于追求简易,而不在于追求高难度技巧,比如构造技巧,追求简易正是注重数学基础,凸现数学本原的做法如果在数学教学中寻找到简单自然解法,那么同样可以收到以简中学教研数学年第期驭繁的效果 现结合一些杂志上的例题,略陈管见,以供广大一线师生参考例若,求证丫。 ,。丫一。占丫一,丫一一占授许多杂志常将这道不等若,。,一勺气轰云,就。十音原
6、解答如下一二荃十卜壳,在区间一,一和一,十上分别为增函数先证明对任意的有十刃十夕事实上十,一六少 瓮扮若劳产群专升六,而十十,由可知十,十付。式证明题来说明构 造 法之“美妙”按构造法思路,如图所示,构 造一个正方 形已牡汇,则不等式的左端各项可看成点尸,到点,的距离显然,尸只尸日涯十拒授从而得证构造极其“巧妙”,此题构造几何图形的方法被许多人誉为以“形”辅“数”的“经典之作”但明眼人一望即知,此题的原型原本就是一个浅显的平面几何问题,只不过是把它用代数不等式的形式给出罢了即便如此,我们也可从所给不等式的特征中联想、甘二 一,小二二小厂,厂丁一马扼,、丫。到理叁小门、守工、浏艾工、一十一多二下
7、不又卞,丁丈已石 不难看出一下厂下下币丫,一宁口一少万恤卞,丫万几了几泛籍了了不万不矛蟾一,厂一不一一厂一一了一 人丁一一丁万下多、一。竺二夕土夕、一裸一价。,一百十多十拼乙人斗住以、,、,、卞、“、十“芳、件万百巧、十气亡尸万一,、,、丫, 丫一之一过梦替一一,一、“将这个不等式相加,即为要求证的结论笔者以为,对学生而言,向他们介绍一些基本的解题技巧是需要 的,但如果在教学中人为的高技巧化,最终只会导致“双基的异化”,同时“过分强调技巧,会造成一般学生丧失信心,甚至连基本方法也掌握不了”单蹲解题研究第六章数学教师请看下面这个例子上述解题过程应该说也较为流畅,我们发现解题者显然 在解答中构造了
8、一个“来历不 明”的不等式 如此,学生不禁要问第二问 中为什么想到先去证明“对任意的有十妇了二”这个不等式是如何想到 的又是从何而来的学生的思维很难认同这种强加的“有异物感”的“神来之笔”如果我们变换思维视角,将结论理解成求。的范围,把“降格”消元选作解题的切人口,容易想到利用基本不等式找到与。的不等量关系例已知二一六笋一求二的单调区间德乐翔了雇币年第期中学教研数学一得一告,。生由可知。、,刹。,。,告一六盛以十一一旦一“十、十夕宁口十自然 在某种程度上讲,居高临下,驾轻就熟,深人浅出,化繁为易是一个教师才识高下的重要标志当一个教师能够把思维上的“高难动作”化解于“谈笑之间”,那才是一种令人肃
9、然起敬的大气派例已知实数“,满足护十十护,且一护一扩,求的取值范围原题解答如下构造一个关于的一元二次方程一右吞一显然,石是这个方程的两个实数根,从而一一占一即一,女口此处理,显然比原题结论。音高明了许多假借降维、消元的思想,仅仅利用学生的旧有知识就建构生成了结论,即使问题本身变得简单、便易,又使解决问题的过程变得轻松而 自然,可以收到以简驭繁的奇特功效可谓“胜似闲庭信步”,岂不妙哉例求证一告原题分析如下依据、二飞、可将求证式左边化为孟最己十二孟爱乏以十即于是毛“,蕊音,一蕊“,一毛一含,一一一一一一占占一乙一,一乏之之乏 之之一,芬,二、。、,、 不、宁工八,乙八了夕以上的解题过程看似很简洁,
10、但它的解法很 自然吗同学不禁要问己十是如何想到的以后如何“学以致用”呢恐怕无人能够回答了其实更贴近学生思维的思路是分析,。、一,然后左边分组求和左边一二矛,三气山十二互誓全一音护之,对待同一个数学问题,由于观点不同、思维视角不同,往往思维力度也不同 作为教师应高瞻远瞩,具有很高的鉴别能力和选择能力,力求使解法简单诚然,所给构造法的解题思路很有创意,但关于的一元二次方程一占占一的构造得来却着实令人费解题设中似乎看不到这样构造的隐性条件,原解答中也没有给出如此构造的原因,真是“神龙见尾不见首”,而学生也就只能“雾中观月”,“镜中赏花”了只要仔细分析一下条件,就不难看出,“护一,代人一护一护,则一问
11、题转化为求的范围注意到式中有 护十护和,考虑用基本不等式动乙,一动右动,整理得簇令,”又若在 护十扩二的两边同加上发现,即一,一从而一镇蕊专,夕、川一一一毛一告,一一即一毛毛一专”“例已知八的个内角,满足中学教研数学年第期。八拒争 十七乙,一一一丁卞一一万不一一下,决公弓 以万月哎义七二巧口一的值一 丁姗原题分析如下由,知二,。二。,一二飞 一一乙丫不干一下丁十乙口粥一一二一一一 乙乙乙 共兴一拒以万月,弓七整理,易知。一所求的麟一 溉一万一径出现 在暇。二万一一南 一一乏个又仪一 以巧二一一一招一卞一,二 口二巧八一径可联想到构造等差数列为,则赢,一江蠢,设其公差例已知一一一夕夕一二。,求证
12、,成等差数列分析这题难度不大,但有意思的是,许多人的解法中使用了不少“废招”,有的说先构造方程一夕一二少一,也有说构造方程一二一夕夕一二,更好因为已知条件即方程判别式为,所以方程有等根,而的两根为一刃与一从而可以得出一二一,即,成等差数列 还有人将已知条件化成的二次方程少一二十再解出,从而,成等差数列、产、,了曰勺了矛 、了吸、,得一拒 一一,得一乃一由平方和等于,解得,一涯泥涯 以一,巧吮二一二、丁,一,二二 乙一勺一之学生可能要 问解答此题非要用构造法吗其实问题不难,用构造法纯属多此一举,把问题复杂化由十,知二。,仄 一而十一,不一乙乙 以石八七去分母得哪二一径联 姗 华联导一泛 告比、十
13、姗一。,再由二倍角公式可知这种用方程与判别式的解法好像巧妙,其实笨得不得了,因为他把思维重心抬得很高,让学生感到解法高深莫测如何降低思维重心 呢比较恰 当的解法如下如果将一,一分别记作,那么题目就是乙一动即一占,从而二,成等差数列这里仅用了初一知识就解决了问题,岂不更妙本文无意否定构造法,适度、优美、简捷的构造法确实能给学生的创新思维提供有益的培养和训练空间,笔者只是认为要防止教学中过分刻意、教条地滥用构造法,力求使各种不 同的解题方法融人自主学习及探究活动之中,最终提高学生 的数学思维水平,发展学生的创新思维能力,从而真正达到“鱼翔浅底,鹰击长空”的境界数学的人文价值不仅体现为数学是现代文明的一部分,而且体现为数学对现代文明的深远影响正因为如此,我们中学教师在新课程中就要实现教学理念的更新,引导学生置身于平凡、简洁的数学问题中,追求思维简易化,挖掘蕴涵其 中的数学思 想,整理归纳其中的数学方法,学会“点石成金”之术,构筑起完整的知识网络,发展真正的创新能力这无疑是数学教学的最终旨归
