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1、 第19卷 第2期 宁夏大学学报(自然科学版)1998年6月Vol . 19 No. 2 Journal of N ingxia U niversity(N atural Science Edition)Jun. 1998 矩阵SVD分解法在工程数值计算中的应用3马良荣 张德澄 王燕昌宁夏大学物理与电子信息工程系, 750021,银川摘 要 论述了SVD分解法的理论基础、 数值计算方法,推导了任意矩阵的SVD分解式,并对工程数值计算中的奇异、 病态、 超定方程进行了SVD求解1计算结果表明该算法稳定,结果准确,适合于解决实际工程问题1关键词 SVD分解法,奇异方程,数值计算分类号 (中图)O2
2、41, TB115在工程数值计算中,许多问题可转化为求解线 性方程组Ax=b.若将系数矩阵A分解为1A=U2 0 0 0VT,(1)其中ARmn,URmm,VRnn,U,V是正交阵, 2= diag (1,2,r),并有 j0(j=1, 2,r),r为矩阵A的秩(rm inm,n).U=(U1,U2),U1为U中前r列正交向量组构成的mr阶矩阵;V= (V1,V2) ,V1为V中前r列正交向量组构成的nr阶矩阵 1 若矩阵A的广义逆定义为A- 1=V12- 1U1T,(2)则方程Ax=b的解可表示为2x=A- 1b=V12- 1UT 1b.(3)(1)式称为系数矩阵A的SVD分解式(Singu
3、2lar V alue Decomposition)11 矩阵的SVD分解法3下面讨论矩阵A的SVD分解式的存在性1假设对于矩阵ARmn(1)式成立,即UTAV=1 ? ?0 r? ?0 ?02rr0 00mn.(4)当mn时, (4)式可写成以下形式UTAV=1 r n 0Dnn 0mn=F,(5)当m=n时, (4)式可写成以下形式UTAV=1 r nDmn=F,(6)当m 0(i= 1,r)1 矩阵A的零空间可表示为V的第r+ 1到n列 向量张成的子空间2N(A)= xV2x= 0,xRn,并有 i= 0(i= 1+r,n),式中V2= vr+ 1,vn. 下面用SVD分解法求解线性方程
4、组Ax=b,其 中ARmn,xRn,bRm.(1)当m=n时,如果矩阵A的秩Rank(A)=n, 则方程有唯一解,由(3)式得其解的形式x=A- 1b=V12- 1UT 1b.如果矩阵A的秩与它的增广矩阵的秩相同,Rank(A) = Rank(A?b) =r(rn时,方程Ax=b为超定方程, SVD分解法利用最小二乘原理,由(3)式可得最小二乘解x=V12- 1UT 1b.3 用SVD分解法构造正交规范基在实际工程数值计算中,经常会遇到求解已知 向量组的标准正交基问题1传统方法是利用Gram2Schm idt正交法,由一个向量开始,逐个正交规范 化,当用数值方法计算时,由于摄动误差的积累,使得
5、计算结果误差较大1而用SVD分解法构造已知 向量组的正交规范化基,既简单又准确1其方法如下: 首先构造一个矩阵ARmn,其列向量为已知 向量,即A= a1,a2,an.再由(1)式求得矩阵A的SVD分解式A=U2 0 0 0VT,并有Rank(A)=r(rn),则正交阵U的前r列向量ui(i= 1,r)即为所求正交规范化基14 SVD分解法的数值方法本文采用Householder变换和变形QR算法对 一般实矩阵进行SVD分解,并用FORTRAN语言 编制了SVD1FOR程序1 整个计算过程分两大步: (1)用Householder变换将A化为双对角阵;(2)用变形的QR算法进行迭代,计算所有的
6、奇异值 i(i= 1,n)1 具体计算方法见文献1和215 算例511 有限元病态方程的SVD求解 用有限元处理实际工程问题时,因不同材料之 间的几何尺寸差异很大,或研究对象本身具有复杂 的几何形状,常使一些局部节点位移构成准刚体运 动1由于准刚体单元的存在,导致刚度方程Ax= F中的刚度矩阵A为病态阵,若用常规方法求 解(如高斯消元法)会导致很大的摄动误差1文献4 通过选择适当的转换阵Q来改善刚度矩阵的性 质,求解刚度方程,虽然结果精确,但计算结果与Q选取直接相关,而Q的选取又依赖于实际的物理背景,使该方法在解决工程问题时显得不太灵活1 而用SVD分解法求解这类问题时,只需把病态矩 阵A分解
7、为(1)式的形式进行求解,算法稳定,结 果精确,特别在处理接近奇异性刚度方程时效果更佳. 下面引用文献4中有限元病态刚度方程的例子,用SVD分解法求解,并与精确解进行比较1 例1 如图1,单元的杆长l= 1?1 000 m ,其它 单元的杆长为1 m ,引入约束后刚度矩阵A=10 0 000 02 - 1 000 0- 1 1 001- 1 00000 00-1 0001 00100 00 0 - 120 00 0 001在单元上,节点位移构成了准刚体运动,导致A为病态阵1引入荷载向量F= 011110T,刚度方程Ax= F的精确解x= 023320T,621宁夏大学学报(自然科学版)第19卷
8、 用单精度SVD分解法求解,其解x= 0 2. 000173. 00033 3. 000332. 00017 0T,与精确解比较可知, 用SVD分解法求得的结果比较理想.512 奇异方程的SVD求解 在工程数值计算中,经常会遇到用常规方法无法求解的奇异矩阵(A= 0),而SVD分解法却是求解这类问 题的极为有效的数值方法,它不仅能 构造所求问题的解空间(14)式),还 能求得方程无解时的最小二乘解(15)式)1例2 求解奇异方程组 图11 - 1 - 1 11 - 1 1 - 31 - 1 - 2 3x1 x2 x3 x4=01- 0. 5用SVD分解法求得矩阵及其增广阵的秩均为2,因此方程有
9、无穷解1由(3)和(14)式求得其解为x=0. 136369 - 0. 1363640. 045455 - 0. 227273+k1- 0. 738535 - 0. 617925 - 0. 241190 - 0. 120559+k20. 004576 - 0. 4044270. 8180060. 409003,其中k1和k2为任意常数1若方程的右端b=1 1 - 0. 5T时,得矩阵的 秩为2,它的增广阵的秩为3,方程此时无解1由(15) 式求得方程的最小二乘解x= 0. 279221 - 0. 279221 - 0. 025974- 0. 227273T.5. 3 超定方程的SVD求解 在大
10、地测量、 数据拟合及岩土工程的反分析等 诸多问题中,经常会遇到求解超定方程组1一般来说 这类问题没有通常意义下的解,但用SVD分解法能 有效地求解出该问题的最小二乘解(16)式)1例3 求解超定方程组1 1 - 12 1 01 - 1 0 - 1 2 1x1x2x3=- 2 - 314.根据(16)式,用SVD分解法解得最小二乘解为x= -1. 190476 0. 952381-0. 666670T, 计算结果同文献1相同16 结论SVD分解法是一种求解奇异方程或近似奇异 方程的极为有效的数值方法,同时它还在求解超定 方程、 确定矩阵秩及构造正交规范化基等诸多方面 有着重要应用1由于它算法稳定
11、,方法灵活有效,适 合于解决实际工程问题,因此有着广阔的应用前景.参 考 文 献1 徐士良1FORTRAN常用算法程序集1北京:清华大学出版社, 19921201002 Golub G H,V an Loan C F. M atrix Computations. 2nd ed. Balti more: Johns Hopkins U niversity Press, 1989. 2103 李庆扬,易大义,王能超1现代数值分析1北京:高等教育出版社, 199511982074 贾金生,李国润1有限元病态刚度方程的解法研究1计算力学及其应用, 1994, 11(3): 264APPL ICATI
12、ON OF SVD IN NUM ERICAL CALCULATI ON OF ENGINEERINGM a L iang rong Zhang D echeng W ang YanchangDepartment of Physics & Electronic Information Engineering,N ingxia U niversity, 750021, Yinchuan,ChinaAbstract The theory of singular value decomposition is discussed systematically by dealing w ith singular,ill2conditioned equations, and linear least2squares problem s. The results show that the algorithm is verystable, efficient, and powerful in solving practical problem s.Key w ords SVD, singular equation, numerical calculation (责任编辑、 校对 马 健)721 第2期 马良荣等:矩阵SVD分解法在工程数值计算中的应用
