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1、1课时达标检测（四十一）课时达标检测（四十一） 双双 曲曲 线线小题对点练点点落实对点练(一) 双曲线的定义和标准方程1若实数k满足 0k9，则曲线1 与曲线1 的( )x2 25y2 9kx2 25ky2 9A离心率相等B虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等解析：选 D 由 00，b0)的右焦点为F，点B是x2 a2y2 b2虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则BAAFBF双曲线C的方程为( )A.1B.1x2 6y2 5x2 8y2 12C.1D.1x2 8y2 4x2 4y2 62解析：选 D 不妨设B(0，b)，由2，F(c,0)，可得A，代入双曲线BAA
2、F2c 3，b3)C的方程可得 1，4 9c2 a21 9即 ， ，4 9a2b2 a210 9b2 a23 2又|4，c2a2b2，a22b216，BFb2c2由可得，a24，b26，双曲线C的方程为1，故选 D.x2 4y2 65设双曲线1 的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于x2 4y2 3A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为( )A.B11 19 2C12D16解析：选 B 由题意，得Error!所以|BF2|AF2|8|AF1|BF1|8|AB|，显然，当AB垂直于x轴时其长度最短，|AB|min23，故(|BF2|AF2|)min11.b2 26(20
3、18河北武邑中学月考)实轴长为 2，虚轴长为 4 的双曲线的标准方程为_解析：2a2,2b4.当焦点在x轴时，双曲线的标准方程为x21；当焦点在yy2 4轴时，双曲线的标准方程为y21.x2 4答案：x21 或y21y2 4x2 47设F1，F2分别是双曲线x21 的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，y2 b2若|AF2|2 且F1AF245，延长AF2交双曲线右支于点B，则F1AB的面积等于_解析：由题意可得|AF2|2，|AF1|4，则|AB|AF2|BF2|2|BF2|BF1|.又F1AF245，所以ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|BF1|2，所2以其面积为
4、224.1 222答案：4对点练(二) 双曲线的几何性质31(2018广州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为y2x，x2 a2y2 b2则双曲线C的离心率为( )A.B. 525C.D.626解析：选 B 依题意知 2，双曲线C的离心率e .故b ac aa2b2a1(ba)25选 B.2(2018安徽黄山模拟)若圆(x3)2y21 上只有一点到双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的距离为 1，则该双曲线的离心率为( )x2 a2y2 b2A.B.3 553 34C.D.35解析：选 A 不妨取渐近线为bxay0，由题意得圆心到渐近线bxay0 的距离d2，化简得bc，b2c2，
5、c2a2，e ，故选 A.|3b|b2a22 34 99 5c a3 553(2018湖北四地七校联考)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为x2 a2y2 b2F1，F2，直线l经过点F1及虚轴的一个端点，且点F2到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( )A.B.1 523 54C. D. 1 523 52解析：选 D 设虚轴的一个端点为B，则SF1BF2b2ca，即1 21 2b2c2b2ca，4c2(c2a2)a2(a22c2)，4e46e210，解得b2c2e2，e(舍负)故选 D.3 543 524设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作
6、x2 a2y2 b2A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )AB 1 222C1D24解析：选 C 由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.A1BA2C，(c，b2 a)(c，b2 a)1，整理得ab.渐近线方程为yx，即yx，渐近线的斜率为b2 a cab2a cab a1.5(2018江西五市部分学校联考)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为x2 a2y2 b2(1,0)，若双曲线上存在点P，使得P到y轴与到x轴的距离的比值为 2，则实数a的取2值范围为( )A.B.(0，2 23(0，1 3C.D.(0，1 3)(0，2 23)解
7、析：选 D 法一：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c1.由双曲线上存在点P，使得P到y轴与到x轴的距离的比值为 2，可知 ，所以 8b2a2，即 8(1a2)a2，所以2b a12 20a2，可知 8b2a2，即 8(1a2)a2，所以 00，b0)的x2 a2y2 b2两个焦点，若在双曲线上存在点P满足 2|，则双曲线C的离心率的PF1PF2F1F2取值范围是( )A(1，B(1,22C，)D2，)2解析：选 D 设O为坐标原点，由 2|，得 4|2c(2c为双PF1PF2F1F2PO曲线的焦距)，|c，又由双曲线的性质可得|a，于是ac，e2.故PO1 2PO1 2选 D.7过双曲线1(a
8、0，b0)的左焦点F1作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线x2 a2y2 b25的两条渐近线的交点分别为A，B，若，则双曲线的渐近线方程为F1AAB_解析：由Error!得x，由Error!ac ab解得x，不妨设xA，xB，ac baac abac ba由可得c，F1AABac abac baac ab整理得b3a.所以双曲线的渐近线方程为 3xy0.答案：3xy08(2018安徽池州模拟)已知椭圆1 的右焦点F到双曲线x2 16y2 12E：1(a0，b0)的渐近线的距离小于，则双曲线E的离心率的取值范围是x2 a2y2 b23_解析：椭圆1 的右焦点F为(2,0)，x2 16y2 12不
9、妨取双曲线E：1(a0，b0)的一条渐近线为bxay0，x2 a2y2 b2则焦点F到渐近线bxay0 的距离d1，10，b0)的右焦点为F(c,0)x2 a2y2 b2(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率3解：(1)因为双曲线的渐近线方程为yx，所以ab，b a所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以双曲线方程为1.x2 2y2 2(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足()1，y0 x03所以x0y0，3依题意，圆的方程为x2y2c2
10、，将代入圆的方程得 3yyc2，即y0c，2 02 01 2所以x0c，所以点A的坐标为，32(32c，12c)7代入双曲线方程得1，3 4c2 a21 4c2 b2即b2c2a2c2a2b2，3 41 4又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，3 4所以 348240，(c a)(c a)所以(3e22)(e22)0，因为e1，所以e，2所以双曲线的离心率为.23已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，x2 4而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒
11、有两个不同的交点A和B，且2，2OAOB求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，x2 a2y2 b2则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故双曲线C2的方程为y21.x2 3(2)将ykx代入y21，2x2 3得(13k2)x26kx90.2由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得Error!k21 且k2 .1 3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.6 2k13k29 13k2x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)22(k21)x1x2k(x1x2)228.3k27 3k21又2，即x1x2y1y22，OAOB2，即0，解得 k23.3k27 3k213k29 3k211 3由得 k21，1 3故k的取值范围为.(1，33) (33，1)
