全微分与偏导数

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1、教教 案案 全微分与偏导数全微分与偏导数 教学内容教学内容 全微分与偏导数的概念是整个多元函数微分学的出发点。学好这两个基本概 念才能深入认识多元函数微分方法的实质。本节中主要讲解以下几方面的内容： （1） 全微分与偏导数的概念； （2） 偏导数与全微分的计算； （3） 空间曲面的切平面，偏导数与全微分的几何意义。 教学思路和要求教学思路和要求 （1） 准确掌握全微分与偏导数概念的内涵，是深刻理解多元函数微分学 的关键，应使学生认识到它们不只是一元函数相应概念的形式推广，从而学到多 元情况下“局部线性化”的方法。 （2） 学生掌握偏导数与全微分的计算并不困难，教师应通过实例指出偏 导数与一元函

2、数导数（微商）的区别，并介绍偏导数计算的若干技巧。 （3） 用全微分作近似计算是微分应用的基础，这个内容所占篇幅不多， 但不应忽视。 （4） 利用曲面的切平面使学生对偏导数与全微分留下直观的印象。 （5） 在本节教学中，教师可将数学分析的思想，线性代数的方法和解析 几何的工具有机地结合起来，以小见大，从整体上显示数学理论的意义与作用。 教学安排教学安排 一全微分的引入 对于n元函数f，当自变量),(1nxxx有改变量),(1nxxx时，因 变量u有相应的改变量u，我们希望进一步寻找u与x间的数量关系。受一 元函数可微性的启示，首先要问：是否在适当的条件下，可以把u分解为两部 分， 一部分关于x

3、是线性的， 一部分当x趋于 0 时， 关于x是高阶无穷小？ 例 1 设 S 是边长分别为x和y的矩形面积，则 xys 。 如果边长x和y分别有增量x和y，那末面积S相应地有一个增量:S xyyyxxS)( yxyxxy. 可见S的表达式中包含两部分，第一部分yxxy是),(yx 的线性函数，第二部分yx是比22yx高阶的无穷小量。这样，在允许略去高阶无穷小的 情况下，可以用yxxy近似替代. S 定义 1 设n元函数)(xfu 在),(00 10nxxx的某邻域中有定义， 如果有一个关于),(1nxxx的线性函数k，使得 |),(|)()()(00xoxkxfxxf 则称函数f在0x处可微，并

4、称)( xk 为f在0x处的全微分，记作du，即 ).( xkdu 二全微分概念的分析，偏导数的概念的引入 1由上一节关于线性函数一般形式的讨论可知：对于线性函数k，必存在n naaaR),(1，使得 xaxk )(,11nnxaxa 从而，.11nnxaxadu 特别地，如果取 ,)(ixxgu ,),(1n nxxxR 则有 ,)()(ixxgxxgu 因而iixdudx。这就是说，在多元情况下，自变量每一分量的增量即该分量的微分。回到原来的函数)(xfu ，即得 .11nndxadxadu 2这样，当函数)(xfu 在0x处可微时，有n naaR),(1，使 |).(| 1xoxauii

5、ni 为了求出1a， 应在上式中把1a“分离” 出来， 不妨取)0 , 0 ,(1xx， 这时，u 的表达式就是 |).(|),(),(11100 20 100 210 1xoxaxxxfxxxxfnn 可见 ).,(),(1lim00 20 100 210 1 101 1nnxxxxfxxxxfxa 这就是说，如果把n个变元中1n个变元nxx,2固定下来，得到一个以1x为自 变量的一元函数，这个一元函数的导数就是要寻找的1a。类似地，如果将n个变 元中除ix外其余1n个变元固定下来，把f作为ix的一元函数，其导数即ia。由此，我们引入以下定义。 定义 2 设n元函数)(xfu 在),(00

6、10nxxx的某邻域内有定义， 如果极限 ),(),(1lim00 20 100 210 1 101nnxxxxfxxxxfx存在，则称此极限为函数f在0x处对于1x的偏导数，记作01xxu ，或)(01xfx，).(01xux 类似地，可以定义., 2,0nixuxi如果多元函数),(1nxxfu在某区域D上每一点处均存在偏导数,ixu 则ixu 也是区域D上的一个函数，称为u的一个偏导函数，常简称为偏导数。 3由前面的讨论得 定理 1 若n元函数)(xfu 在x处可微，则它在该点处关于诸ix的偏导数均存在，而且 .1 1n ndxxudxxudu 值得注意的是：与一元函数不同，对多元函数而

7、言，在某点处诸偏导数的存在性 并不能保证它在该点处的可微性。事实上，诸偏导数的存在甚至不能保证函数在 该点连续。 三连续性、可微性及偏导数存在性的讨论 定理 2 设n元函数)(xfu 在),(00 10nxxx处可微，则f在点0x处连续。 证 由)(xfu 在0x处可微，所以有n naaR),(1，使得 |),(|1xoxauniii 因而当0)(|2112 niixx时，0u，即f在0x处连续。 当多元函数f在区域D上每一点处均可微时，称f在D上可微。由上面 的定理可知，D上的可微函数在D上连续。 例 2 二元函数 . 0, 0, 0,),(2222 22yxyxyxxyyxf 由前面的讨论

8、，已经知道此函数在（0，0）处的极限不存在，从而不连续；但是， 这个函数在x轴上恒等于 0，在y轴上也恒等于 0，从而在（0，0）处两个偏导 数均存在，且. 0)0 , 0()0 , 0(yxff 在上例中，二元函数在原点处偏导数存在，只反映了函数在原点处沿x轴和 沿y轴方向上的变化特征。它可以保证函数在原点处沿x轴和沿y轴方向是连续 变化的，但是，正如上一节指出的，这并不意味着它沿二维空间任何方向上是连 续变化的。 定理 3 设函数),(1nxxfu的偏导数), 2 , 1(nixfi在点0x连续，则函数f在点0x处可微，而且 . 1i inidxxfdu 为叙述方便，我们仅就2n的情况写出

9、证明，即设函数),(yxfu 的偏导数yf xf ,在),(yx连续，证明f在该点处可微，而且dyyfdxxfdu。 证 （参见课本） 。 四偏导数与全微分的计算 由定义可知，偏导数的计算与一元函数求导的方法完全相同。只须把n个自 变量中与该偏导数对应的某一个作为变量， 其余1n个均视作常量， 即把固定了 1n个变元的n元函数视为一元函数，采用一元函数求导即可。 多元函数求偏导数的运算也遵循类似于一元函数求导的四则运算法则。 例 3 在热力学中，已知压强 P，体积 V 和温度 T 之间满足理想气体的状态 方程：kTPV ，其中k是常数。证明: . 1 PT TV VP证 由,VTkP 得2VT

10、kVP；由,PTkV 得;Pk TV由,1PVkT 得.1VkPT因此， . 12 PVkT kV Pk VkT PT TV VP例 4 设yxyxyxfarctan) 1(),(23，求) 1 ,(xfx，) 1 ,(xfy。 解 由于3) 1 ,(xxf，所以 23) 1 ,(xxfx。 由于2arctan) 1(arctan2),(yyyxyyxyyxf ，所以 xxfyarctan2) 1 ,(。 例 5 设yxezxy，求在点) 1 , 1 (),(yx处的全微分。 解 ,) 1()1 (2dyexdxxyedyzdxzdzxyxy yx 因此， .) 1(2|)1 , 1(dyee

11、dxdz 五全微分用于近似计算 设),(yxfu 在点),(00yx处可微，则由)(22yxoduu可得 duyxfyyxxf),(),(0000.),(),(),(000000yyxfxyxfyxfyx 这就是全微分用于近似计算的关系式 例 6 求（1.04）2.02的近似值。 解 考察二元函数.),(yxyxf取 , 10x , 20y ,04. 0x .02. 0y 由计算，,),(1y xyxyxf xxyxfy yln),(，于是 , 1)2 , 1 (f , 2)2 , 1 (xf 0)2 , 1 (yf. 所以 yfxfffyx)2 , 1 ()2 , 1 ()2 , 1 ()0

12、2. 2 ,04. 1 ()04. 1 (02. 2.08. 1)02. 0(0)04. 0(21 六空间曲面的切平面，偏导数的几何意义 二元函数的偏导数也可作出类似于一元函数导数的几何解释：函数 ),(yxfz 的图象是3R中一个曲面 S，该曲面被平面0yy 所截，得一曲线： .),(:00 1yyyxfzC 这条曲线在点),(,(0000yxfyxP处的切 线1PT的斜率， 即它与x轴正方向夹角的 正切就是),(00yxfx， 同样地，),(00yxfy即截线 00 2),(:xxyxfzC 在点 P 处切线2PT的斜率（图 7.2.1） 。 我们把曲面 S 在点 P 处的切平面定 义为切

13、线1PT和2PT所在的平面。 由于该 平面的法向量与,1PT2PT垂直，故可取为 图 7.2.1 kjikji n ),(),(),(10),(0100000000yxfyxf yxfyxfyxyx. 从而切平面方程为 . 0),()(,()(,(00000000yxfzyyyxfxxyxfyx利用切平面还可作出全微分的几何解释：dz即自变量从),(00yx变到),(yx时切平面上相应点高度的改变，而z表示曲面上相应点高度的改变。 例 7 求椭圆抛物面222yxz在点（1，1，3）处的切平面方程。 解 设,2),(22yxyxf则 )1 , 1(4) 1 , 1 (xfx=4， . 22) 1 , 1 ()1 , 1(yfy 从而可得由面在（1，1，3）处的切平面方程为 0) 3() 1(2) 1(4zyx, 即. 324zyx 七进一步的问题 作为本节讨论的继续，下一节将讨论： 1高阶偏导数的概念，性质及计算； 2从nR到nR的映射的可微性，更一般的导数概念。 八习 题 1 （3） ， （4） 2 （3） ， （4） 3 （1） ， （3） ， （5） 5 （2） 6 （1） ， （2） x z p T1 T2 y0 y x0