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1、1 6 中学数学研 究 2 0 1 5第 1 期 i i i ) c=o时 5 。 67 5 当且仅 当口=6 6- 成正 时等号成立 参考文献 三)当非负数 a ， b ， c有两个为零 时， 5 a b+1 2 b c + 1 3 c a ： 0 综合上述证 明可知 ： 在题设条件 下， 该 猜想成 立 当且仅 当 =1 8 0 n=6 ， c= ， 6=0时等号 1 宋庆 不等式证明 中的智巧 中学数学研究 ( 江西 ) ， 201 4， 4 It t I t t t t E c 1 让经 典继续流行 让流行成 为经典 一道经典三角题的证明、 变式与推广 江西省鹰潭市第一中学 ( 3 3
2、 5 0 0 0 ) 桂有良 1 9 8 3年 第 1 7届 苏联 数 学竞赛 十年 级 的 一道 三 角问题， 题设简洁， 思考角度非常丰富， 经过数十年 的积淀成为经典文 1 指 出文 2 中的证 明错误 并给出一个新的证明方法 现笔者从不 同角度对此 题进行剖析其变式并加 以推广 1 题 目 已知 ， 卢( 0 ， ) ， 且 s i n +s i n 卢=s i n ( o t + 卢) ， 求证 + = 2 证 明 分析一： 题 目条件 中只涉及角 O L ， ， +卢的正 眩， 且次数不等， 可考虑利用两角和 的正弦公式展 开， 齐次化后变形 证法 一：由 s i n +s i n
3、 卢 = s i n ( O + )得 ， s i n a ( s i n o t c o )+s i r e( s i r 一c 0 s ) =0，即 s i n o t s i n a s i n ( 詈一 卢 ) + s i s i 一 s i n ( 詈一 ) = 0 ， 和 差 化 积 得【 s in a c o s ( + 手 ) + s i c 。 s ( + 7 “ ) s in ( 一 手 ) = 0 又 ， J8 ( 0 ， T“ ) ， 一 卢 ( 一 71“ ， 手 ) ， 故 77“ 生 ( 0 ，手 ) ， o s ( 手 ) 0 所 n ( 一 7 1“ )=0，
4、 2 ( 0 ，号 ) ， 所 以 一 旦4 = o ， 即 + 7 7 “ 分析二： 若沿着两角和正弦公式， 结合代数式的 变形( 配方和分拆)得下列证法 证法 二 ： 由 s i n o t ( s i n ac 0 )+s i ( s i 一 c 湖 )=0， 又 ， JB( 0， 7 7 “ ) ， s i +c 。 s 0 ， 故原式可化为 s i n a ( s i n o z c 0 )+s i 。 盟 监 ：0 ， 即 i n o t ( i n 一 (s i n B +c o s ) c 。 ) + s i = O , s i n a( s i n c + s i - o ，
5、 ( s i n c 。 sin 淄 _ 0 ， n + s i o， n c 。 0， + JB = 予 分析三： 由于题 目条件少 ， 可考虑从反面突破 ， 利用反设结论不成立， 增设条件加以证明 证法三： 假设结论不成立 即 + 7 T 或 + 手 ， 则 0 2 0 1 5年第 1期 中学数学研究 l 7 s in a c o sfl ，： 言 + s 卢 c 。 s ( 一 ) ， ( 0 ， 芋 ) ， 则 厂 ( ) = 2 sin c。 s + sin a c o sfl + c o sa siH = sin ( + 卢 ) 斗 同理 当O +卢 0 ， 而 ) = 0 ， 故
6、 = 手 变 式 6 已 知 ( 0 ， 7“ ) ， 且 s in 一 寺： c o s ( 0 【 + 要) ， 求角 变 式 7 己 知 ( o ， 71“ ) ， 且 s in 一 寺= s in ( 一 詈 ) ， 求 角 4 推广 如果我们在数学解题中， 只注重解决“ 是什么? 为什么? ” ， 忽视 思考“问题还 有什么? ” ， 这无异 于 “ 入 宝山而空返” 因此 ， 解决数学问题 时， 需要对问 题多做一些思考 笔者经过琢磨， 其一： 可以构造一 个内角分别为 ， ， 仃一( 0 c + ) 的三角形， 则此题条 件具有特殊性， 即为勾股定理的弱化形 式 其 二： 条 件
7、 中三角函数的指数是 否还可 以进 一步一般化呢? 由此给出本题的三个推广 推广 1 设 ， ( 0 ， ) ， 如果存在实数P 0 , 2 ， 使得 s i n O t +s i n ：s i n ( O l + 卢 ) 成立， 那么 a+卢 = 证明 ： ， 卢 ( 0 ， ) ， ， 卢， 仃一( 0 c + 卢)构 成三角形的三内角 不妨设 a , b 、 c分别是此 三角所 对的边长 ， 则 s i n +s i n =s ( + )s i n ( + )=s i n 7 r一( +卢 ) ， 由正弦定理 ， 得 口 +b c 又 由余弦定理， 有 C O S 仃 一( + ) =
8、0 故 + 詈 ； s in + s in = s i n ( a+ ) 1 s i n o c 0 s f ；=s i n ( - - 一1 3 ) ， 即 s in c 。 s3 = s in ( 詈一 13 ) 因 为 ， 詈一 3 ( o ， 予 ) ， 故 号一 卢 ， 即 + 卢 予 - 综 上 可 知 ， + = 詈 推 广 2 设 ，卢 ( 0 ， 予 ) ， 如 果 存 在 实 数 q 2 。 +o 。 ) ， r 0 ， 2 巳p口 ， 使得s i n a+s i n q 3 1 8 中学数学研究 2 0 1 5第 1 期 =sin + 3 ) 地 手 薹 翼 笛 凳 排广
9、 证明： ， 卢 ( 0， 7 1 “ ) ， 3， 仃一( + )构 参考文献 成三角形的三 内角 不妨设 a , b 、 c分别是三角对边 1 孔令标一道三角题的证明错误及新证 J 中学生数 边长 。 。 s i n +s i n 3s i n P o t +s i n q 3 =s i n r ( a+ 卢) 学2 0 1 2 ( 1 0 ) s i n ( + JB )=s in 仃一( + ) ， a 2 + b E c 2 王洪峰 也谈一道三角题的 证明 J 中 学生数学 2 0 1 2 所 以 c 0 s 7r 一 ( + 卢 ) O , - + 卢 等 3 数学问题： 因变化而
10、精彩 J 中学生数学 2 o 1 3 推广 3 设 ， B ( o ， ) ， 如果存在实数P、 q ，【 o ) 0， 2 ， r 2 ， +) ， 且pq ， 使得s i n P a+s i n 卢 = s in r ( + 3 ) 成 立 ， 那 么 + 予 平面 向量 中三点共线性质 的 个 推广 与应用 浙江省衢州第二 中学 ( 3 2 4 0 0 0) 傅建红 本文给 出平 面向量 三点共线性质的一个推广 性质， 并例说其应用 + 性质 已知向量O A， O B不共线， 且O C=mO A +n O B ( m， n尺) ， 则 A， B， C三点共线的充要条件 是 m +n =
11、1 此性质称为平面 向量 中的三点共线性质， 它是 解决平面向量中有关三点共线、 两向量共线等问题 的常用性质然而笔者发现 ， 学生在运用其充分 性 ( 即由m+n=1 A， B， C三点共线) 进行解题 时， 对 于m+n=1的情形一般能较好的理解并掌握， 而对 m+ t l, 1 的情形往往束手无策 是否当m+ n 1 时 就不能运用该性质进行解题 了呢? 本文即对此问题 进行探究： 给 出一个推广性质， 然后例说其应用 1 性质充分性的探究 探究缘于对如下两个 问题 的思考 思考 1 ： 由三点共线性质 的充分性， 当 m 十1 3 , = 0 1 ， 向量关系式0 C=m O A+n
12、O B( m， nR)可变形 + + 为 m O A+1 1 , O B =( m+n )O C， 显然此时有 A， ， C 三点共线 现在 的问题是： 是否对任意的 m， t l , R， 当向量O A， O B， O C满足关系式mO A+1 7 , O B =( m+ 凡 ) O C时， 都有A， B， C三点共线( 比如2O A+ 3O B： 一5 oc ) ? 分析 ： 由于关系式 m O A+n O B = ( m+n )O C 可变形为O C： 一 + 一 ( m +n0 ) ， H L t f L H b f L 且 向量 ， 的系数之和 一 十 ：1 ， 故 由 I I L
13、I L l I L t| L 平面 向量三点共线性质的充分性知 A， B， C三点共 线 思考 2 ： 由思考 1的分析可知， 若 向量O A， O B， _ + O C满足关系式 m O A+n O B ：( m+凡 )o c ( m +n 0 ) ， 则必有A， 日， c三点共线 现在的问题是： 此时 点 C分有向线段 A B的比A是多少? 分析 ： 显然 当点 0重合于点 C时， 向量关系式 m O A+ O B=( m+n ) OC可变形为 m C A+t l, C B= ，即 ：旦 一C B0 I t“ C B( m 0 ) ，故 A ：旦， 即 C=一 ( m ) ， 故 A = H L m 2 性质充分性的推广 通过上述分析， 我们 即可获得平面 向量 三点共 线性质的一个推广性质： 若向量O A， O B， O C满足关系式m O A+n O B = ( m+n )O C ( m+n0 ) ， 则 A， B， C三点共线， 且点 C分有 向线段 A B的比A = ( m 0 ) 说明 ： 1 ) 在涉及含 向量表达式m O A+ O B的
