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1、9 一 j 数学教学 2 0 1 4 年第9 期 浅谈圆韵第=定义在藤题中的应用 2 1 1 9 0 0 南京师范大学第二附 属高级中学张晓飞 2 1 1 9 0 0 江苏省仪征中学邓迎春 圆的第二定义： 平面内， 到两个定点的距 离之比为常数k ( k1 ) 的点 的轨迹是圆， 这个 圆就是阿波罗尼( A p o 1 l o n i u s o f P e r g a ， 2 6 2 B C 一 1 9 0 B C ) 圆， 俗称圆的第二定义 下面从解析几 何角度先进行证明 已知：平面上两个定点 、B， 一动点j ) ， 满足 PA= k PB( 1 ) 求证：点P的轨迹 是一个圆 证明：
2、以 B所在直线为 轴， 线段A B中 垂线 所在直线 为Y 轴建立平 面直角坐标 系， 设A B = 2 a ， 则A ( -0 ， 0 ) ， B( a ， 0 ) ，设P( x ， ) 根据条件PA=k P B ( 1 ) 得、 十n ) + = k v ( x,a ) 2 +y 2 ， 展开整理得 ( 。 一1 ) 一 2 a ( k +1 ) ( 2 1 ) y 2 +a 2 ( k 2 1 ) ， 0 ， 因 为 1 ， 所以z 2 一 + 2 + 2 ：0 j 配 方 整 理 得 ( 一 ) 2 + 2 = ， 故点 P的轨迹是一个圆， 得证 虽然圆的第二定义不属于高中教学范畴，
3、但却是学生利用高中知识可以 自行推导解决 的， 符合学生的能力要求， 符合高考考试说明 要求， 而且近几年圆的第二定义在各地高考中 都有着不少的应用 以下就近年江苏省高考试 题举例说明 例 1 ( 2 0 0 8 年高考江苏卷试题) 已知A B= 2 ， A C= Bc， 求面积S n A B C 的最大值 分析： 因为 B = 2 ， A C = V T BC, 由圆 的第二定义得， 点 的轨迹是一个圆 又 A B= 2 ，以AB作 为 三 角 形 的 底，则 为 定 值，要 求 A B c 的最大值即求 点 到 A B距离 的最 大值 解析： 因为 AB=2 ( 定长) ， 可以以AB所
4、在直线为 轴， 线段 B中垂线为Y 轴建立平 面直角坐标系， 则 ( 一l ， 0 ) ， B( 1 ， O ) ， 设c( x ， ) ， r r ， ， r ， ， r ， ， ， ， r r r r 探究2 将三角形与四面体类比， 三角形 的边与四面体的面对应， 三角形的面积与四面 体的体积对应， 提出如下 问题： 四面体A BC D 的四个面的面积依次为S i , 、s 3 、 ， 体积 为 ， 四面体内任意的一点P到S 1 、 、&、 瓯 四个面的距离依次为d 1 、d 2 、如、也， 则又会 有怎样有趣的不等式呢?沿着平面问题的思 路， 由 柯西不等式得( d +d ； +d ；
5、+近) ( + + + ) ( d l S 1 4 - d 2 S 2 +d 3 S 3 +d 4 S 4 ) ， 而V： ( d l S I +d 2 S 2 +d 3 S 3 +d 4 ) ， 即有 o ( d i + +d ； +d i ) ( s + + + ) 9 V2 ， e 4 + 4 + 镌 + 焉 ， 当 且 仅 当 瓦d l = d 2 = 妾 = 塞 ， 即 比 = 睾 ： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 时 ， 取 等 号 。 = ， ， 文 4 J ， 耿 寺 亏 司样在 空间中这一结论 可以推广 到佗 面体， 由 于推导过程类似， 不再赘述 推广2 凸 面体体积为
6、V ， 各面依次为 S 1 ， ， ， ， 礼 面体内任意一AP到各面的 距离依次为d 1 ， d 2 ， ， ， 则不等式d 9 V2 ( 当且仅当 ： ， ：1 ， 2 ， ， 礼 时， 等号成立1 2 0 1 4 年第9 期 数学教学 9 一 由A C = 、 2 B 得 ( +1 ) 2 +y 2= 、 2 、 一1 ) +y 2 ， 展开 整理得( X 一 3 ) + Y 0 =8 ， 即点 在 以( 3 ， 0 ) 为圆心， 2 为半径的圆上 运动， 所以S A B C=妄 IA B 1 f f ：IY c I 2 说明：本题从题 目表面上看是考查学生 解三角形一章的应用， 可以利
7、用正余弦定理解 决， 但过程繁琐而从另一角度注意到 C = 、 2 B ， 即会发现点 的轨迹是一个圆， 从而 用解析几何手段解决更方便快捷， 计算上也可 以简单很多 例 2 ( 2 0 1 3 年高考江苏卷试题) 如图1 在 平面直角坐标系x O y中， 点A( O ， 3 ) ， 直线z ： Y = 2 x 4 J y 3 I A O -4 f 图 1 设圆 的半径为 1 ， 圆心在 2 上 ( 1 )若 圆心 也在直线 Y= X一1 上， 过 点A作圆 的切线， 求切线的方程； ( 2 ) 若圆 上存在点 ， 使MA= 2 MO， 求圆心 的横坐标 a的取值范围 分析： 在第 ( 2 )
8、 小题中， A = 2 MO，由 圆的第二定义得知点 的轨迹是一个 圆， 要 圆 上存在点M， 使 A =2 MO， 则本小题 就转化为两个圆有交点问题 解析： ( 1 ) ( 过程略) 切线方程为Y=3 或 = 一 3 ； ( 2 )设M( x ， ) ， 由MA=2 MO得 v X 2 + 一3 ) 0 ：2 、 z 0 +Y ， 化简得X +( Y+1 ) = 4 ， 即点M 的轨迹是 以( 0 ， - 1 ) 为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆P， 又因为点 在 圆 上， 故圆 和圆P有公共 点，即相交或者相切， 故 1 Pl 3 i其 中IC P I =x a s +( 2 a 一
9、3 ) 0 ， 因 此 0 L o ， -g - 1 圆的第二定义在近年江苏省高考 中出现 了两次， 其实在其他省份的高考卷中也屡次出 现， 如2 0 0 0 年全国高考卷， 2 0 0 4 年的北京市春 季高考卷 2 0 0 6 年四川省高考理科卷， 2 0 0 8 年 四川省高考理科卷 这说明圆的第二定义应用 广泛， 很受高考命题组专家的亲睐其实在平 时我们的教学和模拟考试中也时常会遇到这样 的问题， 下面举两例说明 例 3 己知 等 腰 三 角 形 中腰 上 中线 长 为、 3 ， 求该三角形面积的最大值 分析： 如图2 ， B D ：、 3 ， A B =2 A D， 由 圆的第二定义
10、可知， 点A的轨迹是一个 圆， 求 该三角形面积的最大值， 即求该三角形面积的 一半( 即ABD面积) 的最大值 图 2 C 解析： 以BD所在直线为 X轴， 线段 BD 中 垂线所 直线为 建立平面直角坐标系 则 B ( ， 0 ) ， D ( ， 0 ) ， 设 A B = 2 D 得 ( + ) 2 + y 2 4 ) 。 卅 ， 展 开 化 简 得 f 一 昙 + 2 ： 百4 ， 所 以 A B G =IBDI I f = IY A l =2 ， 所 以该三角形面积的最大值是2 说明： 本题也可以通过向量或三角等途径 解决， 在这里不再赘述 例4 已知集合M ： ( ， ) lz一3
11、Y x - l ， N= PIPA、 ， 2 JF ) B， A( - 1 ， 0 ) ， B( 1 ， 0 ) ， 则表示 n 的图形面积为 分析： 集 合 M 表 示 的 图形是 两 条平 行 线Y = 一3 ， Y = 一1 之间的区域， 集合表示 的图形是点P的轨迹， 、 为定点， 则 P A= PB满足圆的第二定义， 即此时点J F ) 的轨迹 是圆设e ( x ， ) ， 则、 ( +1 ) 0 +Y 、 2 、 = ， 整理得( 一 3 ) 。 +y 2 8 ， 如 ( 下转第9 1 4 页) 9 一 _f 数学款学 2 0 1 4 年第9 期 图 6 点评：本题也可以同例 1
12、一样， 将点 P看 成 既落在 Z BA C所在区域， 且与点 分处于 直线 D两侧， 又与点 处于直线 B 同侧中， f 0 ，1 即 得不等 式组 1 ， X i 例 3 ( 2 0 1 3 年高考安徽卷理科第9 题) 在 平面直角坐标 系中 l= ) 是坐标原点， 两 定点 A、B满足10 l = 10 I =二 ) OB=2 ， 则点 集 P LOP=A O A+# OB， l l +l I 1 ， 、 R) 所表示的区域的面积是 ( ) ( A ) 2 、 ， 2 ； ( B ) 2 、 ， 3 ； ( C ) 4 X 2 ； ( D) 4 、 3 解析： 如图7 ， 分别作D =一
13、 ( = ) 、二 ) = 一oB 当 0 、 0 时， loP：A OA +I OB， l l +J I 1 ， 、 R- = P lo p=l l0 + (= 百， + 1 ， 入 、 R) ， 对应于区域1 ； 当入 0 、 0 时， PIDp= = ) + D雪， l l +l l l ， 、 R) = PI二 ) 户=1 IID + (二 ， + 1 ， 、 R ， 对应于区域2 ； 当入 0 、 0 时， P L O P：A oA4 - # OB， IA +f I 1 ， 、 R)= P L O P= I,x t o d - I- 0 百， + 1 ， 、 R) ， 对应于区域3
14、； 当 0 、 0 时， P LOP：A OA+# O B， I 入 I +l l 1 ， 入 、 R = P LO P=l , lOd+ D D ， +I 1 ， 、 R) ， 对应于区域4 综上所述， 点集f Pl O P= l二 ) + D 雪， + 1 ， 、 R) 所表示的区域即图7 中的 矩形区域， 其面积为S=22 、 3=4 、 3 图 7 点评：从 向量的角度来探讨平面区域 问 题， 充分体现了向量 的工具性， 绕开了直角坐 标系， 大大简化了运算 参考文献： 1 1 朱贤 良 寻“ 前世” ， 定“ 今生” 一道 安徽高考试题的多角度分析与探源 J 数学教 学研究， 2 0 1 3 ( 1 1 ) ： 4 0 - 4 2 ： 2 崔志荣 把 向量 的系数和化为“ 1 ” 数学通讯( 下半月) ， 2 o 1 2 ( 1 0 ) ： 2 9 _ 3 1 f3 1 杨华， 易立杭 利用共线 向量 中的系 数巧解一类向量问题 fJ 数学通讯( 上半月) ， 2 0 1 1 ( 5 - - 6 ) ： 2 0 2 1
