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1、高等院校计算机科学与技术“十五“规划教材数值分析算法描述与习题解答徐士良编著 机械工业出版社i =i -1; /*考虑重新安排上一个皇后*/if (i (由键盘输入)4 queen problem 2 4 1 3 3 142 1.2 习题1解答1.设乒丽二4.472136具有7位有效数字，试确定下列各近似数的有效数字位数:(1) -fi丽4.426(2)乒丽4.477(3)乒丽4.47(4) -fi丽4.47464(5) -fi丽4.467576解:设x二乒丽二4.472136。(1)/二4.4260Ix一x*I二14.472136-4.4261二0.0461360，因此只一4 )飞)0，因此
2、f(1)f(2)l(x1， 2)，因此，71 在区间1，2内方程虽然有实根，但原迭代格式不一定收敛，需要改变迭代格式。取(X)二4-2X反函数，即x二log2(4-x)。此时，(x)二log2(4-x), 1(x) 1二-1(4-x)ln2 0，因此f(一)f() 0，因此f(一)f()1，因此，该迭代格式不收敛。v x-1 r V/ 2(x-1)3 -2 (2)(X)二1十丁，q少(X)二丁。即Iq少(1.5)1l试问如何将X=(X)变换成迭代收敛的形式?解:将(X)化成反函数后再进行迭代。如本习题第1题中的(2)。8.对非零实数，利用牛顿迭代法设计一个不用除法运算计算的倒数的算法。用此算法
3、计算0.324的倒数，精度要求为二10-4 。解:令f(x)二1-G二0。利用牛顿迭代格式 x f(xn) X叫“-x叼-一一一-二“ F(xn) 其中f(xn) =工-a，fhh-4 xn x 代入迭代格式经整理后得Xn+l二2岛-at用此迭代格式计算0.324的倒数得3.08642。9.利用牛顿迭代公式求解非线性方程j-C二0，推导求v;:的近似公式。 解:令f(x)二j-C二0。利用牛顿迭代格式 f(xn) X明“-X叨-一一一-二-. F(xn) 其中f(xn)二二-c，f(xn)二3与代入迭代格式经整理后得C一+-2n 11-x XJ-3 7“一一一+ x 73 10.用牛顿迭代法求
4、Fa(0)。设XoO，X严d。(1)推导迭代格式xn+l=LUn+主) L X -n 证明en+l-手，其中en在一句。 LX -n (3)证明:当n二三1时，Xn+lO时，xnO。因此有“ -x_=iFa +xn)(Fa -xn20)的迭代格式X叼X叫，+ Xn+l - Xn + xn-l 其中XoO，XlO，且x严XlX严Fa，X(:j:o Fa 。74 解:由双点弦割法其中代入整理后即得到Xn+l二Xn-xn一Xn_1,f(xn) “ f(xn) -f(xn一1)“, “ f(xn)二丘-a，f(xn一1)二dl-G -l +-p l-x tw一+x-I Xn-XJ 一一+ x 75 3
5、40.0 0.342020 0.939688 0.342889 345.0 0.258819 0.965928 0.258489 350.0 0.173648 0.984803 0.174090 355.0 0.087156 0.996197 0.087045 360.0 0.000000 0.999995 0.000000 自=5.07754e-155.2 习题5解答1.已失Q-J元二6，J4百二7，而Z二8。利用线性插值计算J再与而言的近似值。要求计算结果保留到小数点后第二位。解:利用线性插值计算-J45的近似值。取两点为J元二6，J4百二7。-J45 6 45 -49十45一7 二句6.
6、69236-49 49-36 13 利用线性插值计算而言的近似值。取两点为J豆二7，而Z二8。而言7兰兰主+8兰兰些二旦1二7.400 49 - 64 64 - 49 15 2.已失Q.Ji2i二11，.Ji再二12，.Ji豆豆二13。分别用线性插值与二次插值计算.Ji31与M的近似值。要求计算到小数点后第四位。解:利用线性插值计算.Ji31的近似值:取两点J五二11，.Ji再二12。“h3111旦旦旦生+12旦旦旦1二兰22114391 121-144 144 -121 23 利用线性插值计算M的近似值:取两点J再二12，.Ji豆豆二13。“h55 12豆主坚些十13豆主丘二旦1二12.44
7、00 144 -169 169 -144 25 利用二次插值计算.Ji31的近似值: .Ji31 11 i131一144)(131一169)十12231一121)(131一169)十13231一121)(131一144) (121-144)(121-169) (144 -121)(144 -169) (169 -121)(169 -144) 11. 4442 利用二次插值计算M的近似值:厅_ . (155 -144)(155 -169) I .“ (155 -121)(155 -169) I .,., (155 -121)(155 -144) -J155 11十12十13 (121-144)(
8、121-169) (144 -121)(144 -169) (169 -121)(169 -144) 12.4512 3.已知数据点 (=lm(列=lm(与=lmr=lmYO =0.11910 Yl =0.13954 Y2 =0.15932 Y3 =0.17903 (1)用拉格朗日插值公式计算f(1.1300)的近似值。100 (2)用埃特金插值法计算f(1.1300)的近似值。(3)用牛顿插值公式计算f(1.1300)的近似值。解(1)调用算法5.3中的函数n1gr()编程计算，结果为0.121406。(2)调用算法5.5中的函数natk()编程计算，参考答案为0.121406。仰自行编写程
9、序计算，参考答案为0.121406。4.已知函数f(x)二2x十1的三个数据点:。=00Xl=15与=2.5 YO =1.0, lYl =4.0, lY2 =6.0 求通过这三点的二次插值多项式(要求化成ax2+bx+c的形式)。解:由于次数不超过n的多项式的n次插值多项式就是本身。因此，本题中要求的二次插值多项式为P2(X)二2x十1。5.设f(x)UIG，时，且f(的二f(的二0，证明: 把1f(x) 1才(b-dt|fM| 证明:在区间，b上作线性插值得 -0 _ x-a Pl(X)二f()二一二+f(的二0，正，b -b -.b-a 其余项为 f“() fU)-P10) -E厂。-a)
10、仙一的，x, f:， b 门川Mt 口HHM_ f“() f(x)一-E(x-G)(x-bbx，58，bJ 两边取绝对值得 f“() !f(x)1二三(x-G)(x-b)|由于一(b-a)2 I(x一的。-b)|4-17一x，b 因此得|制|二|左空(x-a)仙一的|41(b-d|fV)|41(b-dmax|fHU)| 8 8 刽非由于x，坷，因此得max. 1 f(x) 1斗(b一的2max 1 f“(x) 1 可可D0 a豆x:;so得i正。6.设f(x)c2，时，且f()二f(b)二o，试估计在区间品，b上对f(x)进行线性插值时的相对误差。解:由上题的证明过程得到101 -tJ x-a
11、 Pl(X)二f(F-+f(的一一一二0，x， b -b b-a 其余项为 f“() f(x)-Pl(X)二f(x)=J _:;7/ (x-a)(x一的，x, f:， b 2! 因此得到线性插值Pl(X)得相对误差为一|f(x)-lj(x)|一If(x) I EJl1 (x)一一一一一一二1二100%,-,-If(x)1 If(x)1 7.设Xi(i二0，1，的为互异结点，且 -n-(X-Xi) q;(x)=11一一一J ttuj-xJ 明 证(1) LxJqj(x)三Xk, k二0，1,n (2) L(xj -x)kqj(x)三0，k二1，2,n j=O 证明:(1)令j飞x)二XK，k二0
12、，1,n 通过n十1个互异结点Xi(i二0，1，的构造n次插值多项式王LktEU一川 Pn(x)二)X I I一一一到JFQ(xy-XI)现在由于f(x)二xk(k二0，1，的为次数不超n的多项式，因此其n次插值多项式就是它本身，即j飞x)-Pn(x)二。因此有f(x)=Pn(对二24去门川Mt 口HHMXk二主xk自主主主二立xjqj(儿叫1，n l=lI=o(Xj-XI) 得i正。(2)利用二项式定理将(Xj_X)k (k二1，2, 的展开，得三(xj-X)kqj(X) 102 二三(xj-dxj九+CX;-2X2一+ (_l)k-l cf飞Xk-l+ (_l)k Xk)qj(X) 利用本
13、题(1)中得结论有三(Xj-X)k qj(X)二Xk-clxk-1 X + C Xk-2 X2 -+ (-ll-1 Cf-l XXk-l十(_l)kXk 二。-X)k二O得i正。8.考虑在一张f(x)二CX函数值表中进行线性插值，其中0:S;x:S;2，步长h二0.01，设表值具有五位有效数字。(1)求线性插值的方法误差:(2)求线性插值的运算误差。解:(1)假设插值区间为巧，Xk+d，即x巧，Xk+d。其中h二Xk+l-Xk二0.01。根据插值多项式的余项公式有阳阶一州川|斗x即线性插值的万法误差为9.2X10-5飞。(2)线性插值公式为Pl(X)二f(Xk)三二生.:!:L+ f(xk+l
14、)二二生一 Xk - xk+l xk+l -xk 由于表值具有五位有效数字，且函数f(x)二eX在0:S;x:S;2上其函数值中小数点前有且只有一位，因此表值误差为Ef二0.00005。线性插值的运算误差为IEPl(X)1二1三二五止1+1一三二五一1Ef二Ef二0.00005 Xk - xk+l xk+l -xk 即在线性插值中，运算误差就等于表值误差0.00005。9.假如要构造一张f(x)二d函数值表，其中O:S;x:S;l，步长为h。若对此表使用线性插值，为了要使包括运算误差在内的总体误差不超过10-6，问:(1)步长h应取多大?(2)表值应有多少位有效数字?解:总体误差包括方法误差和
15、运算误差两部分，工程上通常各占一半。在本题中，要求总体误差不超过10-6，则要求方法误差不超过0.5X 10-6，运算误差不超过0.5X 10-6 。(1)由本章第8题的(1)知，步长h将影响方法误差，即方法误差为 5 阳)-Pl(x)1二|亏(x-xkkx-XKJ|42;二现要求由此解出,2 立:S;0.5 X 10-6 8 103 h 10-3 、le耳又 h二0.001。(2)由本章第8题得的(2)知，在线性插值中，运算误差就等于表值误差。现要求运算误差不超过0.5X 10-6，因此，要求表值误差也不超过0.5X 10-6，即表值应准确到小数点后第6位，再加小数点前得一位，共应有7位有效
16、数字。10.已知函数表X 1.615 2.41450 1.634 1.702 2.65271 1.828 1.921 3.34066 f() 2.46459 3.03035 用埃特金逐步线性插值法分别计算f(x)在x二1.682与1.813处的近似值。精度要求为10-4 。解:调用算法5-5中的函数natkO编程计算可以得到如下结果:f(1.682)二2.59612，f(1.813)二2.9833211.证明:存在惟一的三次多项式P(x)满足下列条件:P(xo) = f(xo) , P(与)= f(X2) , P(X1) = f(X1) P“(X1) = f“(X1) 其中f(x)是一个已知函数，且X
